参考图片

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教学分析　　　　　

学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现．在高一学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法．解决问题的方法主要是几何法和代数法．其中几何法应该是在初中学习的基础上，结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后，比较与半径r的关系从而作出判断．适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”，并与“几何法”欣赏比较，以决优劣，从而也深化了基本的“几何法”．含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也适度地引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的，要控制难度．虽然学生学习解析几何了，但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和基本素质．

三维目标　　　　　

1．理解直线与圆的位置关系，明确直线与圆的三种位置关系的判定方法，培养学生数形结合的数学思想．

2．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形，明确数与形的统一性和联系性．

重点难点　　　　　

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．

 

导入新课　　　　　

思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容，每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题，考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等，本节主要学习直线与圆的关系．

思路2.(复习导入)

(1)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)．

(2)圆的标准方程(x－a)²＋(y－b)²＝r²，圆心为(a，b)，半径为r.

(3)圆的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D²＋E²－4F＞0)，圆心为，半径为.

推进新课　　　　　

 

 

初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？

如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

讨论结果：初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种．

直线与圆的三种位置关系的含义是：

方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系．

直线与圆的位置关系的判断方法：

几何方法步骤：

1°把直线方程化为一般式，求出圆心和半径．

2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离．

3°作判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．

代数方法步骤：

1°将直线方程与圆的方程联立成方程组．

2°利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程．

3°求出其判别式Δ的值．

4°比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离．反之也成立．

 

思路1

例1 判断下列直线与圆(x－1)²＋(y－1)²＝1的位置关系：

(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.

解：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.

(1)点C到直线x－y－2＝0的距离为d₁＝＝.

又r＝1，所以d₁＞r，可知直线与圆相离(如图1)．

图1

(2)点C到直线x＋2y－1＝0的距离为d₂＝＝＝.

因为d₂＜r，所以此直线与圆相交(如图1)．

图2

例2 设直线mx－y＋2＝0与圆x²＋y²＝1相切，求实数m的值．

解：已知圆的圆心为O(0,0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝＝ .

由已知得d＝r，即＝1，解得m＝±.

如图2.

变式训练

已知直线l过点P(4,0)，且与圆O：x²＋y²＝8相交，求直线l的倾斜角α的取值范围．

解法一：设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，

因为直线l与圆O相交，所以圆心O到直线l的距离小于半径，

即＜2.化简得k²＜1，所以－1＜k＜1，即－1＜tanα＜1.

当0≤tanα＜1时，0≤α＜；当－1＜tanα＜0时，＜α＜π.

所以α的取值范围是∪.

解法二：设直线l的方程为y＝k(x－4)，

由消去y得(k²＋1)x²－8k²x＋16k²－8＝0.

因为直线l与圆O相交，所以Δ＝(－8k²)²－4(k²＋1)(16k²－8)＞0，化简得k²＜1.(以下同解法一)

点评：涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法．本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案.

思路2

例1  已知圆的方程是x²＋y²＝r²，求经过圆上一点M(x₀，y₀)的切线方程．

活动：学生思考讨论，教师提示学生解题的思路，引导学生回顾直线方程的求法，既考虑通法又考虑图形的几何性质．此切线过点(x₀，y₀)，要确定其方程，只需求出其斜率k，可利用待定系数法(或直接求解)．直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径，切线与法线垂直．

解法一：当点M不在坐标轴上时，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k₁，

因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以k＝－.

因为k₁＝，所以k＝－.

所以经过点M的切线方程是y－y₀＝－(x－x₀)．

整理得x₀x＋y₀y＝x＋y.又因为点M(x₀，y₀)在圆上，所以x＋y＝r².

所以所求的切线方程是x₀x＋y₀y＝r².

当点M在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．

解法二：设P(x，y)为所求切线上的任意一点，当P与M不重合时，OPM为直角三角形，OP为斜边，所以OP²＝OM²＋MP²，即x²＋y²＝x＋y＋(x－x₀)²＋(y－y₀)².

整理得x₀x＋y₀y＝r².可以验证，当P与M重合时同样适合上式，故所求的切线方程是x₀x＋y₀y＝r².

解法三：设P(x，y)为所求切线上的任意一点，当点M不在坐标轴上时，由OM⊥MP得k_OM·k_MP＝－1，即·＝－1，整理得x₀x＋y₀y＝r².可以验证，当点M在坐标轴上时，P与M重合，同样适合上式，故所求的切线方程是x₀x＋y₀y＝r².

点评：如果已知圆上一点的坐标，我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程.

变式训练

求过圆C：(x－a)²＋(y－b)²＝r²上一点M(x₀，y₀)的圆的切线方程．

解：设x₀≠a，y₀≠b，所求切线斜率为k，则由圆的切线垂直于过切点的半径，得k＝－＝－，所以所求方程为y－y₀＝－(x－x₀)，即(y－b)(y₀－b)＋(x－a)(x₀－a)＝(x₀－a)²＋(y₀－b)².

又点M(x₀，y₀)在圆上，则有(x₀－a)²＋(y₀－b)²＝r².

代入上式，得(y－b)(y₀－b)＋(x－a)(x₀－a)＝r².

当x₀＝a，y₀＝b时仍然成立，所以过圆C：(x－a)²＋(y－b)²＝r²上一点M(x₀，y₀)的圆的切线方程为(y－b)(y₀－b)＋(x－a)(x₀－a)＝r².

例2  从点P(4,5)向圆(x－2)²＋y²＝4引切线，求切线方程．

活动：学生思考交流，提出解题的方法，回想直线方程的求法，先验证点与圆的位置关系，再利用几何性质解题．

解：把点P(4,5)代入(x－2)²＋y²＝4，得(4－2)²＋5²＝29＞4，所以点P在圆(x－2)²＋y²＝4外．

设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.

又圆心坐标为(2,0)，r＝2.

因为圆心到切线的距离等于半径，即＝2，k＝，

所以切线方程为21x－20y＋16＝0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x＝4.

点评：过圆外已知点P(x，y)的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k的方程．求出k，因为有两条，所以应有两个不同的k值．当求得的k值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x轴的直线，所以补上一条切线x＝x₁.

变式训练

　 求过点M(3,1)，且与圆(x－1)²＋y²＝4相切的直线l的方程．

解：设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，

因为圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，

所以＝2，解得k＝－.

所以切线方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋4y－13＝0.

当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x＝3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x＝3也符合题意．

所以直线l的方程是3x＋4y－12＝0或x＝3.

例3 (1)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个不同的公共点，求实数b的取值范围；

(2)若关于x的不等式＞x＋b解集为R，求实数b的取值范围.

解：(1)如图3(数形结合)，方程y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线l；

图3

方程y＝表示单位圆在x轴上及其上方的半圆，

当直线过B点时，它与半圆交于两点，此时b＝1，直线记为l₁；

当直线与半圆相切时，b＝，直线记为l₂.

直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l₁与l₂之间(包括l₁但不包括l₂)，

所以1≤b＜，即所求的b的取值范围是[1，)．

(2)不等式＞x＋b恒成立，即半圆y＝在直线y＝x＋b上方，

当直线l过点(1,0)时，b＝－1，所以所求的b的取值范围是(－∞，－1)．

点评：利用数形结合解题，有时非常方便直观．

 

1．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x²＋y²－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系，如果相交，求出它们的交点坐标．

2．已知圆的方程是x²＋y²＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点．

解答：1.解法一：由直线l：3x＋y－6＝0和圆x²＋y²－2y－4＝0的方程得

 

消去y，得x²－3x＋2＝0.

因为Δ＝(－3)²－4×1×2＝1＞0，所以直线l与圆相交，有两个公共点．

由x²－3x＋2＝0，得x₁＝2，x₂＝1.

把x₁＝2代入方程，得y₁＝0；把x₂＝1代入方程，得y₂＝3.

所以直线l与圆相交有两个公共点，它们的坐标分别是(2,0)和(1,3)．

解法二：圆x²＋y²－2y－4＝0的方程可化为x²＋(y－1)²＝5，其圆心C的坐标为(0,1)，半径长为，圆心C到直线l的距离d＝＝＜.

所以直线l与圆相交，有两个公共点．(以后同解法一)

点评：比较两种解法，我们可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍须联立方程组求解．

2．解法一：若直线l：y＝x＋b和圆x²＋y²＝2有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点，则方程组有两个不同解，有两个相同解，没有实数解．

方程组消去y，得2x²＋2bx＋b²－2＝0.

所以Δ＝(2b)²－4×2(b²－2)＝16－4b².

所以当Δ＝16－4b²＞0，即－2＜b＜2时，圆与直线有两个公共点；

当Δ＝16－4b²＝0，即b＝±2时，圆与直线只有一个公共点；

当Δ＝16－4b²＜0，即b＞2或b＜－2时，圆与直线没有公共点．

解法二：圆x²＋y²＝2的圆心C的坐标为(0,0)，半径长为，圆心C到直线l：y＝x＋b的距离d＝＝.

当d＞r时，即＞，即|b|＞2，即b＞2或b＜－2时，圆与直线没有公共点；

当d＝r时，即＝，即|b|＝2，即b＝±2时，圆与直线只有一个公共点；

当d＜r时，即＜，即|b|＜2，即－2＜b＜2时，圆与直线有两个公共点．

点评：由于圆的特殊性判断圆与直线的位置关系，多采用判断圆心到直线的距离与半径的大小之间的关系；而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断，则需要利用方程组解的个数来判断．

 

圆x²＋y²＝8内有一点P₀(－1,2)，AB为过点P₀且倾斜角为α的弦．

(1)当α＝时，求AB的长；

(2)当AB的长最短时，求直线AB的方程．

解：(1)当α＝时，直线AB的斜率为k＝tan＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1.

解法一：(用弦长公式)由消去y，得2x²－2x－7＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝1，x₁x₂＝－，

所以|AB|＝|x₁－x₂|＝·＝·＝.

解法二：(几何法)弦心距d＝，半径r＝2，弦长|AB|＝2＝2＝.

(2)当AB的长最短时，OP₀⊥AB，因为kOP₀＝－2，所以k_AB＝，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.

 

(1)判断直线与圆的位置关系的方法：几何法和代数法．

(2)求切线方程．