分数坐标是把点阵矢量看成是单位矢量下确定原子位置; 笛卡尔坐标是绝对坐标，是直角坐标系与斜角坐标系的统称，考虑点阵常数的大小。 

Basically, the fractional coordinates show the fraction of each unit cell vector that contributes to the position of that atom。根本上来说，分数坐标给出了每个原子在元胞的相对位置 

晶格参数： 

A (Ax   Ay   Az)         2.46          0.00         0.00  

B (Bx   By   Bz)        -1.23          2.13         0.00 

C (Cx   Cy   Cz)          0.00         0.00         10.00 

一个点的分数坐标    （a, b, c）         （0.667     0.333     0） 

x = Axa+Bxb+Cxc = 2.46*0.667-1.23*0.333+0*0=1.23        

 y = Aya+Byb+Cyc = 0*0.667+2.13*0.333+0*0=0.71         

z = Aza+Bzb+Czc = 0*0.667+0*0.333+10*0=0 

这个点的笛卡尔坐标 （x, y, z）           (1.23      0.71     0) 

所以，笛卡尔坐标并不是原子在我们作为参考的直角坐标系中的绝对位置，而是在元胞基矢构成坐标系中，原子的绝对位置，而分数坐标，就是原子在元胞基矢构成坐标系中原子的相对位置。对于一个斜角坐标系，显然原子的相对位置比较好判断，所以，我们一般在POSCAR中用到的是其分数坐标，如果需要用到笛卡尔坐标，就用上面的公式转换。