因式分解及其在初中解题中的应用

 

望江县实验学校   胡慧

 

关键词：因式分解、应用

因式分解是初等数学的重要内容这五，应用非常广泛。下面我们就从因式分解的内容、方法及其在各种题型中的应用体一个浅显的剖析和概括。

一、因式分解的内容：

在给定的数集里，把一个多项式分解成若干个不可约多项式（或既约多项式）的积的形式，叫作多项式的因式分解。在高等代数里已经证明，任意一个次数大于零的多项式都可以分解成给定数集上不可约多项式的乘积。这种分解，除各因式的次序和非零数值因式外，其他都是唯一确定的。在复数集里，对于任意一个几次多项式都可以分解成几个一次因式的乘积；在实数范围内，任意一个实系数多项式都可分解为一次和二次因式的乘积；在有理数集内，任何几次多项式都有经过有限，一次算术运算分解为不可约多项式，这种方法由克劳内格（Kronecker)所提供，在理集结上肯定了有理数集内多项式分解的可能性，那多项式的因式分解到底有哪些好的方法呢？

二、因式分解的方法：

多项式的因式分解种种，如待定系数法，用系数定理和综合除法分解因式，利用行列式的分解等等，但这些并不运用于初中阶段因式分解的学习，下面我们就从初中阶段数学过程中得到的方法做一个小结。

（1）提公因式和运用公式法，十字相乘法，当多项式是二项式，三项式时考虑用此种方法。

例：在实数范围内分解因式： . . .

解： .

.

（2）当项数超过三项时考虑先分组，再用基本方法

例：在实数范围内分解因式： .

. .

解： .

.

 

 

 

 

（3）对于难以直接运用上述方法进行分解的多项式，可以考虑进行一些变换，改变多项式的结构，然后再利用有关方法进行分解。

符号变换：例：在实数范围内分解因式： .

解： .

拆项变换：例：在实数范围内分解因式： .

解：

 

指数变换：例：在实数范围内分解因式：xⁿ⁺²-2xⁿ⁺¹+xⁿ

 解：xⁿ⁺²-2xⁿ⁺¹+xⁿ =xⁿ(x²-2x+1)=xⁿ(x-1)²

添项变换：例：在实数范围内分解因式：x4+

 

解：.

 

换元变换：例 ：在实数范围内分解因式： .

解：设x+y=a，xy=b

则：原式

.

=(x-1)²(1-y)²

. 主元变换：例：在实数范围内分解因式： .

解：以x为主，则原代数式可变形为

 

 

：

三、因式分解的应用

（1）因式分解在解一元二次方程中的应用

例：解方程： .

解：

（2）在分式计算中的应用

 

例：化简分式：

 

解：.

 

计算：.

 

 

 

（3）在竞赛题中的妙用

 

例：计算：

 

 

 

 

 

（4）在求代数式最值中的应用

例：a,b,c为互不相同的自然数，ab²c³=1350,则a+b+c的最大值等于______

解：将1350分解因数

得：1350=2*5²*3³       ab²c³=2*5²*3³=(2*5²)*1²*3³=(2*3)*(3*5)2*1³

=(2*3*5²)*3²*1³=(2*3³)*5²*1³

∴a=2*5²*3   b=3   c=1时

a+b+c最大值等于154

（3）在求二次函数解析式中的应用

例：抛物线y=ax²+bx+c与经轴交于A(2，0），对称轴为X--2,顶点M到X轴的距离为3，求此抛物线的解析式

解：对称轴为X=-2，而图象与X轴交于点A（2，0）

∴图象与X轴的另一交点是B(-6,0)

∴抛物线可设为Y=a(X-2)(X+6)

又顶点M到X轴的距离为3

∴顶点坐标为（-2，3）或（-2，-3）

把M点代入抛物线的解析式，得

±3=a(-2-2)(-2+6)

16a=±3

∴a=±.

                                                                                        

∴抛物线的解析式：y=±   (x-2)(x+6)

 

（4）在几何中的应用

例：已知：a,b,c 是ABC的三条边，且， .

试：判别ABC的形状

解

 

 

 

 

 

a,b,c 是ABC的三条边

∴a＞0，b＞0，c＞0

且a-b=0  或  a-c=0 或b-c=0

∴a=b或a=c   或b=c

∴ABC是等腰三解形，

 

参考交献：

（1）数学中考新视野》  范仁年  承彦主编

（2）《数学大世界》，初中生数学辅导，2000年第9，10，11期

（3）《中学教学教材教法》第二分册，初等代数研究

赵振威主编  章士藻副主编