丢番图与《算术》(200 AD)

三、费马的遗赠

1、费马的遗赠（1659）

费马关于平方和的定理：一个无平方因子的整数是两个有理数的平方和当且仅当它是形如2，4n+1的素数的积。

如通常那样，费马没有给出他的定理的证明。

例子：

• 平方和：5=1+2²,13=2²+3²,17=1²+4²,29=2²+5²

•  非平方和：3，7，11，19，23 

2、圣诞信

1640年12月25日费马给梅森（Marin Mersenne）的信：“如果形如的素数不是平方和，则存在一个具有同样性质的更小的素数。然后又有第三个更小的这种数，等等，直到最后到数5。”因此导出矛盾。

费马叫这个方法为无穷下降法（infinite descent）；他感到“这个方法还必须再补充进某些新的准则。”

3、有理三角形的基本定理

费马的“关于有理三角形的基本定理”：素数p是一个整数边直角三角形斜边当且仅当它具有形式4n+1。

证明：由欧几里得公式

4、欧拉的证明（1749）

欧拉与这个定理奋战了七年，最后在1749年成功地找到了一个完整的证明。关键的想法：欧几里得公式 + 无穷下降法。

5、高斯整数（1832）

公式p=a²+b²等价于在高斯整数中的素分解p=(a+bi)(a-bi)，并由互反律以及中的唯一分解定理得到。这是关于费马定理的最漂亮的理论。 

6、三平方和四平方和

定理 （勒让德（Legendre）1798）：一个数是三平方和当且仅当它不是形如的数。

定理（拉格朗日（Lagrange）1772）：每个正整数都是四个整数的平方和。

四、两个数的立方和

1、三个有理数的立方和

定理（S.Ryley, Ladies Diary，1825）：每个正整数n是三个有理数的立方和：

n=x³+y³+z³

实际上，她（或他）用有理函数给出了：x=f(t,n),y=g(t,n),z=h(t,n)的一族解。一个特例是：3³+4³+5³=6³。

2、两个有理数的立方和n=x³+y³：

关于三次方程的问题明显地出现在丢番图的《算术》中，费马则是第一个指出1不是一个两立方和，但是它的证明则是欧拉后来给出的。

勒让德说6不是两个数的立方和，但这是错误的；我们有

3、 立方和的概率：

立方和n=x³+y³的概率猜想：50％的正整数是立方和:

事实上，有一个显式的分成两个密度为1/2集合的分割ℕ= SCT，人们猜想：

•  S中的每个元素是立方和,

• T中的元素0％是立方和。

4、 为立方和的素数

定理（西尔维斯特(Sylvester)1856－Pepin 1870）：设p是形如奇素数p=2.5 mod 9，则p不是两个有理数的立方和。

定理（Elkies 1994 (宣告)）：设p是个形如的奇素数p=4.7 mod 9，则p是两个有理立方和。

西尔维斯特，Pepin，Sategé（1986），Coward（2000）证明了一些更多的结果，但是对于具多个素因子的数n没有什么结果。

5、立方和问题:椭圆曲线形式

问题：对于一个正整数n≠1,2，x³+y³=n 的一组解(x,y)。如下对应于En：Y²=X³-432n²上的一个无穷阶的点。

五、椭圆曲线与BSD猜想

1、实曲线和复的环面

C：y²=x³+ax+b,a,b∈R

2、有理点

考虑椭圆曲线C：y²=x³+ax+b,a,b∈Z，以下是庞加莱在1901年的猜想：

定理（莫德尔（Mordell）1922）：设C是Q上的一条椭圆曲线，于是

其中r>0，C(Q)tor为有限群。

3、L函数

设△表示C的判别式，并令

于是L(C,s)对Re(s)>3/2绝对收敛（Hasse），并全纯延拓到C上（Wiles，等）。

4、1,000,000 美元奖金问题

猜想（Birch和Swinnerton-Dyer）：L(C,s)在s=1的泰勒展式有形式：

L(C,s)=c(s-1)^r+高次项，其中c≠0，

则r=rank C(Q). 特别，L(C,1)=0当且仅当 C(Q)为无限集。

5、 应用于立方和问题

➢ L函数L(En,S)有一个函数方程s→2-s,符号为ε(n)=±1,它给出了一个按照ε(n)=±1给出的分割 N=S∏T

 ➢ 猜测:n∈T100％是非立方和。

这或许可以通过计算Selmer 群来验证；这个群是费马的无穷下降法的现代版,这是对于非立方和问题现在唯一可用的工具。

➢ 猜测:n∈S 均是立方和，100％是由Heegner点给出的解，这是对立方和问题现在唯一可用的工具。

六、赫格内尔（Heegner）点

1、Heegner 1952:构造三次曲线上的点

无线电专家Kurt Heegner发现了一个利用模函数构造三次方程的解的方法。这篇文章一直到1969年才被数学界承认，但已经是他死后的4年了。

2、模参数化

  赫格内尔（1893－1965年)Heegner构造的C:y²=x³+ax+b解的主要想法是利用模函数，类似于利用三角函数(cos2πt,sin2πt)参数化单位圆那样：

4、模函数的特定值的代数性

三角函数是超越函数，但是在π的有理倍数上取代数值；模函数是超越的，但是在二次点上取代数值。例如:

七、高次幂的和

考虑方程

Ø  Faltings证明了http://s14/bmiddle/006ISXg0zy7f4Iqdp9Pfd&690有限(莫德尔猜想)。

Ø  Wiles证明了http://s7/bmiddle/006ISXg0zy7f4Ir12Rwa6&690是非平凡的。(费马大定理)。

Ø  田野和A. Diaconu证明了，对于无局部障碍的大域F中的无穷多个http://s5/mw690/006ISXg0zy7f4IwJ4Ms64&690。

来源：《中国数学会通讯》（2012年第3期）