叠加原理与相对论（三）

          ——声速相对论（上）

刘文旺

光是我们认识世界的工具，为了解释M-M实验中的光速不变，我们建立了洛伦兹变换。在此基础上爱因斯坦，以光速不变为基本假设，再加上叠加原理推导出了狭义相对论。在下一相随轮的钟慢尺缩的基础上发现，存在引力场的空间是弯曲的空间，借助于里曼几何建立了广义相对论。

从前面的分析可知，介质中的光速也具有不随地球运动而变换的问题，同样需要给出解释，于是我们建立了介质中的相对论。这一理论包括两个方面的内容：1、不同种介质中的狭义相对论——在两个不同的坐标系（参考系）中，拥有的介质不同，其折射率分别为n₁、n₂；2、同种介质中的狭义相对论——在两个不同的坐标系（参考系）中，拥有的相同的介质，其折射率为n。

这些相对论与爱因斯坦的狭义相对论的关系是：不同种介质中的狭义相对论，当n₁=n₂时，转化为同种介质中的狭义相对论；当n₁=n₂=1（真空中）时，转化为爱因斯坦的狭义相对论的全部。

也就是说，爱因斯坦的狭义相对论只是我们介质中的狭义相对论的在真空中的推论。

这是一个完美的理论。

我非常希望这是一个正确的理论，假如这是正确的，那么我们推导出了一个完全的相对论。我们知道麦克斯韦理论既适用于介质中也适用于真空中，同样解释光速不变的狭义相对论也同样如此。这样我们就实现了统一。可惜这是一个错误的理论，我们随后再说，先看看一般的机械波的运动速度也具有同样的特点。机械波的运动速度同样违背经典的速度叠加原理。同样需要解释。

声音、光是我们感觉器官感知世界的工具。因此，对于我们认识这个世界而言，声波的作用与光波的作用是具有同等的地位。尤其是一些没有视觉的动物，如蝙蝠等，它们认识周围世界只能通过声波。

从过程的起因说，爱因斯坦的狭义相对论是起源于对光速不变的解释。因为光速不变现象违背了经典意义下的速度叠加原理。这就在经典物理与电磁理论之间产生了不可调和的矛盾。为了使电磁理论也适用于经典物理的速度叠加原理。才诞生了洛仑兹变换，在此基础上结合动量守恒、能量守恒原理，推导出了质速关系、质能关系等狭义相对论。

我们知道，由于声波等机械波同光波一样，具有与地球的运动无关的速度。如声波在空气中的速度越是340m/s，这一数值与地球的自转、公转没有关系。这同样违背经典意义下的速度叠加原理。

这一点是至关重要的，需要建立同样的理论加以解释。下面我们推导，描述声速不变性的洛伦兹变换，并进而建立以声速为基础的声速相对论。这是因为，在有了解释声速不变的洛仑兹变换后，质量若不发生变化，则动量守恒定律也不成立。而有了质速关系后，在功能原理的基础上又可得出质能关系。

该推导过程与推导狭义相对论的过程一样，只是把真空中的光速C换成了介质中的声速u。

声速狭义相对论

（一）、声速狭义相对论

两个基本假设：

、声速在任一种介质中相对于封闭惯性系拥有不变的数值。

、物理规律在一切惯性系中拥有同一种形式。

s′系为在S中作匀速运动的封闭坐标系，则由声速不变原理可知，声在s系及s′系中运动速度都是u，如图所示：

x=ax′+bt′                                         

x′=ax-bt                                           

在s系中考擦s′系的原点o′的运动由得dx/dt=b/a。

假定s′系相对于s系以不变地速度v向右运动则有dx/dt=v =>b/a=v

由于s与 s′系中声速相同，所以从s系进入到s′系的声音其运动速度不变；从s′系中的声音进入到s系时，其运动速度不变，所以由x=ut    x=ut

x = ut=ut=a(x+bt/a)=a(x+vt)=a(ut+vt)=a(u+v)t

x=ut=a(x-bt/a)=a(x-vt)=a(ut-vt)=a(u-v)t

即ut= a(u-v)t                                      

ut= a(u+v)t                                         

由得：t=[a(u-v)t]/u=a(u-v)t/u代入得

ut=a(u+v)[a(u-v)t]/u=a²[u²-v²]t/u

u²=a²[u²-v²] 

a=u[u²-v²]^1/2=1/(1-v²/u²)^1/2 =1/(1-β²)^1/2

b=av=v/(1-β²)^1/2

∴ x=(x+vt)/ (1-β²)^1/2                              

 x=(x-vt)/ (1-β²)^1/2                                 

由得：x(1-β²)^1/2= x-vt =[(x+vt)/ (1-β²)^1/2]- vt

∴ vt =[x+vt-(x-β² x)]/ (1-β²)^1/2

    = [x+vt- x+(v ²x/u²)]/(1-β²)^1/2

∴ t=[t+(v x/u²)]/(1-β²)^1/2                            

同理由得：x(1-β²)^1/2= x+vt=(x-vt)/ (1-β²)^1/2+ vt

∴ vt=[x- β²x-x+vt]/(1-β²)^1/2

=[vt- β²x]/(1-β²)^1/2 

∴ t=[t-vx/u²]/(1-β²)^1/2                                

如上为两坐标之间的时空换算关系——广义洛伦兹变化：

x=(x-vt)/(1-β²)^1/2

y^、=y

z^、=z

t=[t-vx/u²]/(1-β²)^1/2

其中，β=v/u

这就是我们熟知的洛伦兹变换形式，实在机械波中出现的，为了描述机械波运动速度与地球的自转运动的无关性而产生的。

真空中的光速与地球的运动的无关性直接导致了狭义相对论的诞生。完全一样地，介质中的机械波的运动速度也与地球的自转无关。同样违背我们熟知的，静电衣一下的伽利略的速度叠加原理。这同样需要解释。我们继续下去，于是我们便得到了机械波相对论。我们看下边的推演：

1、同时性的相对性

由得：t₂-t₁=t₂+v x₂/u²-（t₁+v x₁/u²）/(1-β²)^1/2

=[（t₂-t₁）+v（x₂-x₁）/u²]/(1-β²)^1/2

由上式可看出在s′系中为同时的两个事件t₂=t₁而在s系中不是同时的既有时间差：

Δt=t₂-t₁=v（x₂-x₁）/u²/(1-β²)^1/2                     

该差值由s′系的运动速度v及介质声速及x₂-x₁决定。由上式可知，只有x₂=x₁才会出现在s与s′系都认为是同时的事件

2、运动的时中推迟——钟慢现象

在s′系中的某一位置放一个时钟，现观察其走时的大小

t₂-t₁=[（t₂-t₁）+v（x₂-x₁）/u²]/ (1-β²)^1/2

=（t₂-t₁）/ (1-β²)^1/2

∴ t₂-t₁=（t₂-t₁）(1-β²)^1/2                           

由上式可知处于运动态的时钟走时小于静止于s系中的时钟，及s′系相对于s系的运动速度。

3、动体长度在运动方向上的收缩

参见下图

 

x_b- x_a=(x_b- vt_a)/(1-β²)^1/2-(x_a- vt_b)/(1-β²)^1/2

=[(x_b-x_a)+v(t_a-t_b)]/ (1-β²)^1/2

由于t_a= t_b

x_b-x_a= (x_b-x_a)/ (1-β²)^1/2

其中x_b-x_a为静止于s系中的物长，x_b-x_a为s系中测得的物长。    令x_b-x_a=l₀  则s系中测得的物长l为   

l=x_b-x_a=(x_b-x_a)/ (1-β²)^1/2=l₀ (1-β²)^1/2

即l= l₀ (1-β²)^1/2                                     

由式可知运动物体的长度在运动方向变短了。

上述分析其时总是站在s系的角度看问题，结果就三式而言，还有相反的形式现续分析如下。

4、同时性得相对性

若站在s′系的角度分析同时性的相对性，则完全类似的推导有

t₂-t₁

=(t₂-v x₂/u²)/(1-β²)^1/2-(t₁-v x₁/u²)/(1-β²)^1/2

=(t₂-t₁)+(x₁-x₂)v/u²/(1-β²)^1/2

由上式可知在s系中为同时得两个事件(t₂=t₁)，在s′系内不是同时的，差值为

t₂-t₁=(x₁-x₂)v/u²/(1-β²)^1/2                             

该差值由s′运动速度及在s系中两地相距大小决定。x₁-x₂=0时，s与s′才有共同的同时性概念。