百年相对论（十）

作者：刘文旺

声速相对论

声音、光是我们感觉器官感知世界的工具。因此，对于我们认识这个世界而言，声波的作用与光波的作用是具有同等的地位。尤其是一些没有视觉的动物，如蝙蝠等，它们认识周围世界只能通过声波。

从过程的起因说，爱因斯坦的狭义相对论是起源于对光速不变的解释。因为光速不变现象违背了经典意义下的速度叠加原理。这就在经典物理与电磁理论之间产生了不可调和的矛盾。为了使电磁理论也适用于经典物理的速度叠加原理。才诞生了洛仑兹变换，在此基础上结合动量守恒、能量守恒原理，推导出了质速关系、质能关系等狭义相对论。

我们知道，由于声波等机械波同光波一样，具有与地球的运动无关的速度。如声波在空气中的速度越是340m/s，这一数值与地球的自转、公转没有关系。这同样违背经典意义下的速度叠加原理。

这一点是至关重要的，需要建立同样的理论加以解释。下面我们推导，描述声速不变性的洛伦兹变换，并进而建立以声速为基础的声速相对论。这是因为，在有了解释声速不变的洛仑兹变换后，质量若不发生变化，则动量守恒定律也不成立。而有了质速关系后，在功能原理的基础上又可得出质能关系。

该推导过程与推导狭义相对论的过程一样，只是把真空中的光速C换成了介质中的声速u。

声速狭义相对论

（一）、声速狭义相对论

两个基本假设：

、声速在任一种介质中相对于封闭惯性系拥有不变的数值。

、物理规律在一切惯性系中拥有同一种形式。

s′系为在S中作匀速运动的封闭坐标系，则由声速不变原理可知，声在s系及s′系中运动速度都是u，如图所示：

x=ax′+bt′                                         

x′=ax-bt                                           

在s系中考擦s′系的原点o′的运动由得dx/dt=b/a。

假定s′系相对于s系以不变地速度v向右运动则有dx/dt=v =>b/a=v

由于s与 s′系中声速相同，所以从s系进入到s′系的声音其运动速度不变；从s′系中的声音进入到s系时，其运动速度不变，所以由x=ut    x=ut

x = ut=ut=a(x+bt/a)=a(x+vt)=a(ut+vt)=a(u+v)t

x=ut=a(x-bt/a)=a(x-vt)=a(ut-vt)=a(u-v)t

即ut= a(u-v)t                                      

ut= a(u+v)t                                         

由得：t=[a(u-v)t]/u=a(u-v)t/u代入得

ut=a(u+v)[a(u-v)t]/u=a²[u²-v²]t/u

u²=a²[u²-v²] 

a=u[u²-v²]^1/2=1/(1-v²/u²)^1/2 =1/(1-β²)^1/2

b=av=v/(1-β²)^1/2

∴ x=(x+vt)/ (1-β²)^1/2                              

 x=(x-vt)/ (1-β²)^1/2                                 

由得：x(1-β²)^1/2= x-vt =[(x+vt)/ (1-β²)^1/2]- vt

∴ vt =[x+vt-(x-β² x)]/ (1-β²)^1/2

    = [x+vt- x+(v ²x/u²)]/(1-β²)^1/2

∴ t=[t+(v x/u²)]/(1-β²)^1/2                            

同理由得：x(1-β²)^1/2= x+vt=(x-vt)/ (1-β²)^1/2+ vt

∴ vt=[x- β²x-x+vt]/(1-β²)^1/2

=[vt- β²x]/(1-β²)^1/2 

∴ t=[t-vx/u²]/(1-β²)^1/2                                

如上为两坐标之间的时空换算关系——广义洛伦兹变化：

x=(x-vt)/(1-β²)^1/2

y^、=y

z^、=z

t=[t-vx/u²]/(1-β²)^1/2

其中，β=v/u

1、同时性的相对性（）

由得：t₂-t₁=t₂+v x₂/u²-（t₁+v x₁/u²）/(1-β²)^1/2

=[（t₂-t₁）+v（x₂-x₁）/u²]/(1-β²)^1/2

由上式可看出在s′系中为同时的两个事件t₂=t₁而在s系中不是同时的既有时间差：

Δt=t₂-t₁=v（x₂-x₁）/u²/(1-β²)^1/2                     

该差值由s′系的运动速度v及介质声速及x₂-x₁决定。由上式可知，只有x₂=x₁才会出现在s与s′系都认为是同时的事件

2、运动的时中推迟——钟慢现象（）

在s′系中的某一位置放一个时钟，现观察其走时的大小

t₂-t₁=[（t₂-t₁）+v（x₂-x₁）/u²]/ (1-β²)^1/2

=（t₂-t₁）/ (1-β²)^1/2

∴ t₂-t₁=（t₂-t₁）(1-β²)^1/2                           

由上式可知处于运动态的时钟走时小于静止于s系中的时钟，及s′系相对于s系的运动速度。

3、动体长度在运动方向上的收缩（）

参见下图

 

x_b- x_a=(x_b- vt_a)/(1-β²)^1/2-(x_a- vt_b)/(1-β²)^1/2

=[(x_b-x_a)+v(t_a-t_b)]/ (1-β²)^1/2

由于t_a= t_b

x_b-x_a= (x_b-x_a)/ (1-β²)^1/2

其中x_b-x_a为静止于s系中的物长，x_b-x_a为s系中测得的物长。    令x_b-x_a=l₀  则s系中测得的物长l为   

l=x_b-x_a=(x_b-x_a)/ (1-β²)^1/2=l₀ (1-β²)^1/2

即l= l₀ (1-β²)^1/2                                     

由式可知运动物体的长度在运动方向变短了。

上述分析其时总是站在s系的角度看问题，结果就三式而言，还有相反的形式现续分析如下。

4、同时性得相对性（）

若站在s′系的角度分析同时性的相对性，则完全类似的推导有

t₂-t₁

=(t₂-v x₂/u²)/(1-β²)^1/2-(t₁-v x₁/u²)/(1-β²)^1/2

=(t₂-t₁)+(x₁-x₂)v/u²/(1-β²)^1/2

由上式可知在s系中为同时得两个事件(t₂=t₁)，在s′系内不是同时的，差值为

t₂-t₁=(x₁-x₂)v/u²/(1-β²)^1/2                             

该差值由s′运动速度及在s系中两地相距大小决定。x₁-x₂=0时，s与s′才有共同的同时性概念。

5、运动的时间推迟——钟慢现象（）

在s系中放一个时钟，现在s′系中观察其走时大小

t₂-t₁=(t₂-t₁)+(x₁-x₂)v/u²/(1-β²)^1/2

由于x₁= x₂

t₂-t₁=(t₂-t₁)/ (1-β²)^1/2                               

由上式可知t₂-t₁> t₂-t₁即在s′系看s系中的时钟走得变慢了，且比例一样。由s′系的运动速度v、声速决定，比较与两式可知，钟慢现象是相对的，即s系中的观察者认为s′系中的时钟变慢；而s′系中的观察者认为s系中的时钟变慢了，且比例一样。 

那末究竟是谁变慢了，这里没有绝对的谁的时钟变慢了，有的只是由于观察者不同引起的，由于采用声音信号测量手段引起的彼此等价的相对的时钟变慢。

6、动体长度在运动方向的收缩（）

参见图2，完全类似地有：

x_b-x_a= (x_b+vt_b)/(1-β²)^1/2-(x_a+vt_a)/ (1-β²)^1/2

=(x_b-x_a)+v(t_b- t_a)/(1-β²)^1/2

由于此测量是在s系内同时进行的，所以t_b- t_a=0

x_b-x_a=(x_b-x_a)/ (1-β²)^1/2

l₀=l(1-β²)^1/2                                           

即s′系中的观测者同样发现s系中的动体在运动方向的收缩，且比例一样。

由上面的分析不难看出，钟慢尺缩现象及同时性的相对性完全是相对的，没有一个参照系是特殊的。它是由观测引起的，每一个参照系内的观测者的观测结果是完全等价的。同时也只有这样的结论才符合Einstein的相对性原理，不然，通过钟慢尺缩现象就能发现参照系之间的区别，从而使不同参照系之间变得不完全等价了。

7、运动速度的和成（s与s′系中速度的变换式）

由式得：dx=(dx+vdt)/(1-β²)^1/2     

由式得：dt=(dt+vdx/u²)/(1-β²)^1/2

令 u_x= dx/dt

=[( dx+vdt)/(1-β²)^1/2]/[(dt+vdx/u²)/(1-β²)^1/2]

=( dx+vdt)/ (dt+vdx/u²)

=(u_x+v)/(1+ vu_x/u²)                                    

同理u_x=(u_x-v)/ (1- vu_x/u²)                                

由于在yz两轴上物体没有运动所以y=y,z= z        

dy=dy,  dz=dz     

u_y= dy/dt=dy/(dt+vdx/u²)/(1-β²)^1/2   

=u_y(1-β²)^1/2/(1+ vu_x/u²)                                

u_z= dz/dt= dz/(dt+vdx/u²)/(1-β²)^1/2

= u_z(1-β²)^1/2/(1+ vu_x/u²)                                

u_y= dy/dt=dy/(dt-vdx/u²)/(1-β²)^1/2

= u_y(1-β²)^1/2/(1- vu_x/u²)                                  

u_z= dz/dt=dz/(dt-vdx/u²)/(1-β²)^1/2

= u_y(1-β²)^1/2/(1- vu_x/u²)                                 

而且，由

u_x=(u_x-v)/ (1- vu_x/u²)

可知，在u_x=u带入上式，会发现

u_x=(u_x-v)/ (1- vu_x/u²)

  =  (u-v)/ (1- vu/u²)=(u-v)/ (1-v/u)=u

   从而我们推导出，在一个惯性系中，声速是u，而在另一个相对于该惯性系运动的，任意惯性系中测得的声速也是u。这就是介质中的声速不变现象。

8、质量与速度的关系

现在用动量守恒定律来推导粒子的质量与运动速度的关系。

如图3所示：

 

令两个材料形状大小质量完全相同的表面光滑的小球发生完全弹性碰撞，我们令两个小球共同的质心在s中静止，小球在oxy平面内运动，碰撞式两球的连心线与y轴平行，用V₁₀和V₂₀分别代表1、2两球碰撞前的运动速度，因为质心静止，两小球质量还相等，所以有V₂₀= -V₁₀，碰撞后又对称性可知V₂= -V₁，由动量、能量守恒及碰撞的对称性可知，每一小球碰撞前后的质量和速率都不变，于是有v₁=v₁₀,v₂=v₂₀,又由于两球光滑，碰撞时沿x轴不受力，每小球沿x轴的动量不变，可得：v_1x=v_10x, v_2x=v_20x且v_1y=-v_10y, v_2y=-v_20y,再由V₂₀= -V₁₀以及 V₂= -V₁，又有v_20x= -v_10x，v_2x= -v_1x，v_20y=-v_10y v_2y=-v_1y，利用v=v_10x,v= v_20y则碰撞前后粒子运动情况如上图3所示。

现在，我们再在s′系中研究上述问题，令s′以V相对于s运动则由运动速度公式得。

在碰撞前：v_10x=0

v_10y=-v(1-β²)^1/2/(1-v²/u²)=-v/(1-β²)^1/2             

v_20x=-2v/(1+β²)  v_20y= v(1-β²)^1/2/(1+v²/u²)

碰撞后  v_1x=0

v_1y= v(1-β²)^1/2/(1-β²)=v/(1-β²)^1/2

v_2x=-2v/(1+β²)                                     ′

v_2y=-v(1-β²)^1/2/(1+v²/u²)

=-v(1-β²)^1/2/(1+β²)

Δv_1y= v_1y-v_10y=2v/(1-β²)^1/2                        ″

Δv_2y= v_2y- v_20y=-2v/(1-β²)^1/2/(1+β²)

显然两球速度沿y轴的投影的改变量并不象s系中一样等值反号，为了满足动量守恒的要求必须认为在s系中两球质量不再相等，现假设为m₁和m₂则由动量守恒可得

m₁Δv_1y+ m₂Δv_2y=0

把″式代入上式得：

m₁/ m₂=-Δv_2y/Δv_1y=[1/(1+β²)]/[1/(1-β²)]

把1-β²=(1+ 2β²+β⁴-4β²)^1/2乘上式的分子、分母得

m₁/ m₂=[1-4β²/(1+β²)²]^1/2

=1-4v²/u²(1+β²)²

把v_2x=-2v/(1+β²)代入上式得

m₁/ m₂=(1- v_2x²/u²)^1/2

m₂= m₁/(1- β²)^1/2

其中β= v_2x/u    即在s系中观测到的粒子在x轴上的运动的速度。

当v很小时，由′式可知v_1x= v_1y=0 即V₁=0 故m₁这时可以看作s系中的第一球的“静质量”记为m₀；又由两球完全相同，因此m₀也是第二个球的静止质量。又因v为无穷小，即v_2y=0可得v_2x= v₂，v_2x可看成第二球在 s系中的速度，于是可得出如下结论即：在一个惯性系中，质点的质量与质点速率有关，若用m₀表示静止的质量，m代表以速率v运动时的质量则有

m= m₀/(1-β²)^1/2                                     (21)

这就是运动粒子（物质）质量与运动速度的关系

9、动量的定义与物体的质能关系  

有了物体的质速关系m= m₀/(1-β²)^1/2后可定义粒子（物体）的动量为 P=mV= m₀V/(1-β²)^1/2                            (22)

相应地有力F可定义为dP /dt   即F= dP /dt            (23)

而功dw=Fdl                                           (24)

现在推导在上述假定之下的能量与粒子运动质量的关系，假定对粒子所作的功完全变为粒子的动能，则有：

dT/dt=Fdl/dt=FV      把(23)代入上式得

dT/dt=d(mV)V/dt=m(dV/dt)V+V²dm/dt

其中  dm/dt=(dm/dv)(dv/dt)=(dv/dt)[(v/u²)/(1-β²)^3/2]

V(dv/dt)= v(dv/dt)

代入上式得

dT/dt

=m₀/(1-β²)^1/2v(dv/dt)+m₀(dv/dt)v²[(v/u²)/(1-β²)^3/2]

= m₀v(dv/dt)[(1-β²+β²)/(1-β²)^3/2]

= m₀v/(1-β²)^3/2(dv/dt)

=(d/dt) m₀u²/(1-β²)^1/2

积分得：

T= m₀u²(1-β²)^1/2+u₁

其中u₁为积分常数，当质点速度为零时，其动能为零。则由上式可知：u₁=-m₀u²    其中u为声音在介质中的运动速度。所以

T= m₀u²/(1-β²)^1/2- m₀u²

= mu²- m₀u²                                         (25)

在v→0时回到经典形式。    mu²= T+ m₀u²

令E= m₀u²为粒子总能量则有 E=T+m₀u²                    (26)

结论如下：

广义洛仑兹变换：

x=(x-vt)/ (1-β²)^1/2                                   （1）

y^、=y                                                  （2）

z^、=z                                                  （3）

t=[t-vx/u²]/(1-β²)^1/2                                （4）

其中，β=v/u意义不变。

L=L^，[1-（v/u）²]^1/2                                          （5）

m=m^，/[1-（v/u）²]^1/2                                         （6）

t₀=t(1-(v/u)²)^1/2                                    （7）

E=T+m₀u²、E₀=m₀u²                                    （8）

t^‘₂-t^‘₁=[（t₂-t₁）-v（x₂-x₁）（v/u²）]/(1-(v/u)²)^1/2，   （9）

     这样，我们就像爱爱因斯坦一样，得到了：不同的观测者中，声速具有不变性；时间与空间的可变性；同时性的相对性；质速关系、质能关系等。若把其中的时间与空间的变化应用到描述引力场的理论中，就会建立以声速为基础的空间弯曲的广义相对论。

由于其中的标准速度变成了声速，因此，钟慢尺缩、同时性的相对性、质速关系、质能关系的变化就更明显了。尤其是，由于不同介质有不同的声速，因此，钟慢尺缩、同时性的相对性、质速关系、质能关系的变化等不是确定的数值。这绝对不可接受。与能量守恒直接不相容。

这体现了狭义相对论的建立，及其描述的物理概念尤其是关于时间与空间的概念，是完全错误的。

声音、光只是我们认识世界的工具，我们不该本末倒置地为了工具而改变对世界的本质认识！