百年相对论（九）

刘文旺、

（二）、不同种介质中的狭义相对论

8、质量与物体运动速度的关系

现在用动量守恒定律来推导粒子的质量与运动速度的关系。参见图3完全类似的分析有：

碰撞前有：

v_10x=0                                     (54)

v_10y=ξv(-v)/[ξ²v-v(ξ²-1)]

=-ξv/(ξ²-ξ²+1)=-ξv                     (53)

v_20x=vξ²(-v-v)/[ξ²v-(ξ²-1)(-v)]

=-2v²ξ²/[ξ²v+(ξ²-1)v]

=-2vξ²/(2ξ²-1                              (55)

v_20y=ξvv/[ξ²v-(ξ²-1)(-v)]

=ξv/ξ²+(ξ²-1)=ξv/(2ξ²-1)               (56)

碰撞后有：

v_1x=0                                       (58)

v_1y=ξvv/[ξ²v-(ξ²-1)v]

=ξv/(ξ²-ξ²+1)=ξv                       (57)

v_2x

=vξ²(-v-v)/[ξ²v+v(ξ²-1)]=-2v²ξ²/(ξ²v+ξ²v-v)

=-2v²ξ²/(2ξ²-1)                               (59)

v_2y=ξv(-v)/[ξ²v+(ξ²-1)v]=-ξv/(ξ²+ξ²-1)

=-ξv/(2ξ²-1)                                (60)

v_1x-v_10x=0

v_2x-v_20x=0

Δv_1y=v_1y-v_10y=ξv-(-)ξv=2ξv             (61)

Δv_2y

=v_2y-v_20y=-ξv/(2ξ²-1)-ξv/(2ξ²-1)

=-2ξv/(2ξ²-1)                               (62)

显然两球速度沿y轴的投影的改变量并不像s系中一样等值反号，为了动量守恒的要求必须认为在s′系中两球质量不等，现假设为m₁和m₂，则由动量守恒可得：

m₁Δv_1y+m₂Δv_2y=0

m₁/m₂=-Δv_2y/Δv_1y

=[-2ξv/(2ξ²-1)]/2ξv

=1/(2ξ²-1)

m₂=(2ξ²-1)m₁

完全类似于推导m=m₀/(1-n²β²)^1/2的假定，m₂→m，

m₁→m₀，v_2x→v所以有m=m₀(2ξ²-1)     （63）

由(59)式得

v_2x=2v[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[-(c/n₂)+n₁v/n₂-v-n₁v²/c]

-(c/n₂)v_2x+v_2xn₁v/n₂-v_2xv-v_2xn₁v²/c

=2v²+2vc/n₂-2n₁v²/n₂

(2+v_2xn₁/c-2n₁/n₂)v²+(2c/n₂+v_2x-v_2xn₁/n₂)v+(c/n₂)

v_2x=0

解之可得：

v ={v_2xn₁/n₂- v_2x-2c/n₂±[(2c/n₂- v_2x)²

+v_2xn₁/n₂(v_2xn₁/n₂+4c/n₂-6v_2x)]^1/2}/2(2+v_2xn₁/c-2n₁/n₂)

当n₁=n₂=1时v应为正值。推出在上述的两个解中去掉负值解，因此有：

v={v_2xn₁/n₂- v_2x-2c/n₂+[(2c/n₂- v_2x)²

+v_2xn₁/n₂(v_2xn₁/n₂+4c/n₂-6v_2x)]^1/2}/2(2+v_2xn₁/c-2n₁/n₂)

此上式为(64)

下面看一看(63)式，当n₁=n₂=1时，

2ξ²-1

=[2v+(1-v/c)(c-v)]/(c+v)(1-v/c)

=(2v+c-v-v+v²/c)/(c+v)(1-v/c)=(c+v²/c)/(c+v)(1-v/c)

=[(c²+v²)/c]/(c+v)(1-v/c)

=[(c²+v²)/c]/(c-v+v-v²/c)

=[(c²+v²)/c]/[(c²-v²)/c]=(c²+v²)/(c²-v²)

把n₁=n₂=1时的v值[见(64)式]代入上式得：

2ξ²-1=分子/分母

分子

=c²+{[-c²+c²(1-β²)^1/2]/v_2x}²

=c²+[c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2+c⁴(1-β²)]/v_2x²

=c²+[2c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2-c²v_2x²]/v_2x²

=[c²v_2x²+2c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2-c²v_2x²]/v_2x²

=2c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2

=[1-(1-β²)^1/2]c²

=c²(1-1+β²)

=c²β²=v_2x²=1

分母=c²-{[-c²+c²(1-β²)^1/2]/v_2x}²

=c²-[c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2+c⁴(1-β²)]/v_2x²

=c²-[2c⁴-2c⁴(1-β²)^1/2-c²v_2x²]/v_2x²

=[c²v_2x²-2c⁴+2c⁴(1-β²)^1/2+c²v_2x²]/v_2x²

=2c²v_2x²+2c⁴(1-β²)^1/2-2c⁴

=v_2x²+c²[(1-β²)^1/2-1]

=v_2x²[1+(1-β²)^1/2]-c²(1-1+β²)

=v_2x²+v_2x²(1-β²)^1/2-v_2x²

=v_2x²(1-β²)^1/2=(1-β²)^1/2

即当n₁=n₂=1时，2ξ²-1=1/(1-β²)^1/2

所以当由(63)式可知：m= m₀/(1-β²)^1/2即回到Einstein的形式。

同理当n₁=n₂=n时，

2ξ²-1=(v+c/n-v+nv²/c)/(c/n-v+v-nv²/c)

=(c/n+nv²/c)/(c/n-nv²/c)=[(c²+n²v²)/nc]/[(c²-n²v²)/nc]

=(c²+n²v²)/(c²-n²v²)

把n₁=n₂=n时的v值[见(64)式]代入上式得：

2ξ²-1=(c²+n²v²)/(c²-n²v²)现就分子分母分别推算如下

分子

=c²+n²c⁴[1-n²β²+1-2(1-n²β²)^1/2]/n⁴v_2x²

=c²+c⁴[2-2(1-n²β²)^1/2-n²β²]/n²v_2x²

={n²v_2x²+[2c²-2(1-n²β²)^1/2c²-n²v_2x²]}/n²v_2x²

=n²v_2x²+2c²-2(1-n²β²)^1/2c²-n²v_2x²

=2c²[1-(1-n²β²)^1/2]

=2c²(1-1+n²β²)

=2n²v_2x²=1

分母

=c²-n²c⁴[1-n²β²+1-2(1-n²β²)^1/2]/n⁴v_2x²

=c²-c⁴[2-2(1-n²β²)^1/2-n²β²]/n²v_2x²

={n²v_2x²-[2c²-2(1-n²β²)^1/2c²-n²v_2x²]}/n²v_2x²

=n²v_2x²-2c²+2(1-n²β²)^1/2c²+n²v_2x²

=2n²v_2x²-2c²[1-(1-n²β²)^1/2]

=2n²v_2x²[1+(1-n²β²)^1/2]-2c²(1-1+n²β²)

=2n²v_2x²[1+(1-n²β²)^1/2]-2n²v_2x²

=[1+(1-n²β²)^1/2]-1

=(1-n²β²)^1/2

所以2ξ²-1=1/(1-n²β²)^1/2即回到了同种介质的相对论形式(21)式。即有m= m₀/(1- n²β²)^1/2  (21)

由此可见m=m₀/(1-n²β²)^1/2、可以看作n₁=n₂时

m=(2ξ²-1)m₀的特例而更一步当n₁=n₂=n=1时，完全回到Einstein的形式，既Einstein的相对论应为此处理论的特殊情况。

把(64)式代入m=(2ξ²-1)m₀可得m与v的关系式如下：

m={8c²+8n₁²c²/n₂²+24n₁cv-8n₁c²/n₂-24n₁²vc/n₂+4n₁³vc/n₂²-4n₂vc+(4n₂c-12n₁c+4n₁²c/n₂)[(2c/n₂-v)²+n₁v/n₂(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)]^1/2 m₀}/{8c²

+16n₁²v²+8n₁²c²/n₂²+24n₁cv-24n₁c²/n₂-24n₁²vc/n₂-4n₁³v²/n₂

+4n₁³vc/n₂²-4n₂vc-4n₁n₂v²+(4n₂c+4n₁n₂v-4n₁c-4n₁²v+4n₁²c/n₂)

[(2c/n₂-v)²+n₁v/n₂(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)]^1/2}                (65)

可以证明(65)式有：

当n₁=n₂=1时为m=m₀/(1-β²)^1/2

当n₁=n₂=n时为m=m₀/(1- n²β²)^1/2

(65)式为在介质不同时，即观测者相对处于不同的折射率n的坐标系内时，所观测到的运动物体的质量与其运动速度的关系。

9、动量的定义与物体的质能关系

有了物体的质速关系式(65)后，可定义物体的动量为P=mV

P={8c²+8n₁²c²/n₂²+24n₁cv-8n₁c²/n₂-24n₁²vc/n₂+4n₁³vc/n₂²-4n₂vc+(4n₂c-12n₁c+4n₁²c/n₂)[(2c/n₂-v)²+n₁v/n₂(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)]^1/2m₀V}/{8c²+16n₁²v²+8n₁²c²/n₂²+24n₁cv-24n₁c²/n₂-24n₁²vc/n₂-4n₁³v²/n₂

+4n₁³vc/n₂²-4n₂vc-4n₁n₂v²+(4n₂c+4n₁n₂v-4n₁c-4n₁²v+4n₁²c/n₂)

[(2c/n₂-v)²+n₁v/n₂(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)]^1/2}                   (66)

相应地力F可定义为动量的变化率，即有：F=dP/dt   (67)

假定力对物体所作得功完全为粒子的动能则有：

dT/dt=dmV/dt=mdVV/dt+Vdm/dt=mvdv/dt+v²dm/dt

=mvdv/dt+v²dmdv/dvdt=vdv(m+v²dm/dv)/dt            (68)

其中m由(65)式决定。

为计算dm/dv可由(65)式直接进行，也可由dm/dv=dmdv/dvdv得到，其结果是：

dm/dv=(A+B^1/2)m₀/C²D                          (69)

其中A=1536n₁²c²v²+1792n₁³cv³-192n₁n₂c²v²-416n₁²n₂cv³

+256n₁vc³+32n₁n₂²cv³-3584n₁³c²v²/n₂-896n₁²vc³/n₂

-2994n₁⁴cv³/n₂+1536n₁³vc³/n₂²+256n₁³c⁴/n₂³+3584n₁⁴c²v²/n₂²

+1792n₁⁵cv³/n₂²-896n₁⁴vc³/n₂³-256n₁³c⁴/n₂³-1536n₁⁵v²c²/n₂³

-416n₁⁶cv³/n₂³+192n₁⁶c²v²/n₂⁴+256n₁⁵c³v/n₂⁴+32n₁⁷cv³/n₂⁴

B=128n₁n₂vc²+320n₁²n₂cv²-640n₁²vc²-32n₁n₂²cv²-960n₁³cv²

-128n₁²c³/n₂+896n₁³vc²/n₂+960n₁⁴cv⁴/n₂+128n₁³c³/n₂²

-640n₁⁴vc²/n₂²-320n₁⁵cv²/n₂²+128n₁⁵vc²/n₂³+32n₁⁶cv²/n₂³

C=[8c²+16n₁²v²+8n₁²c²/n₂²-24n₁c²/n₂-24n₁²vc/n₂-4n₁³v²/n₂

+4n₁³vc/n₂²-4n₂vc-4n₁n₂v²+(4n₂c+4n₁n₂v-4n₁c-4n₁²v

+4n₁²c/n₂)^1/2]²

D=^1/2=[(2c/n₂-v)²+n₁v(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)/n₂]^1/2

=(2c/n₂-v)²+n₁v(n₁v/n₂+4c/n₂-6v)/n₂

当n₁=n₂=1时，

(69)式=[256vc³-128cv³-128vc²·2c(1-β²)^1/2]m₀/64{v²

+c²[(1-β²)-1]}²·2c(1-β²)^1/2

=128c[2vc²-v³-2vc²(1-β²)^1/2]m₀/128c{v²

+c²[(1-β²)-1]}²(1-β²)^1/2

=vc²[(1-β²)-1]²m₀/{v²+c²[(1-β²)-1]}²(1-β²)^1/2

分子分母同乘[(1-β²)+1]²得

=vc²(-β²)²m₀/[v²(1-β²)^1/2+v²+c²(-β²)]²(1-β²)^1/2

=vc²v⁴/c⁴m₀/v⁴(1-β²)(1-β²)^1/2

=(vm₀/c²)/(1-β²)^3/2即与Einstein相对论中的结果一样。

当n₁=n₂=n时，

(69)式=256nvc²-128n³cv³-128n²vc²(2c/n)(1-n²β²)^1/2m₀/

64{n²v²+c²[(1-n²β²)^1/2-1]}²(2c/n)(1-n²β²)^1/2

=128c[2n²vc²-n⁴v³-2n²vc²(1-n²β²)^1/2]m₀/128c{n²v²

+c²[(1-n²β²)^1/2-1]}²(1-n²β²)^1/2

=[2n²vc²-n⁴v³-2n²vc²(1-n²β²)^1/2]m₀/{n²v²+c²[(1-n²β²)^1/2

-1]}²(1-n²β²)^1/2

分子分母同乘上[(1-n²β²)^1/2+1]²得

=(n²v/c²)m₀/(1-n²β²)^3/2

即回到介质（折射率为n）中的相应形式。

把(65)式和(69)式代入(68)式，经过复杂推算后可得：

dT/dt=m₀v(dv/dt)[(ξ+ζ^1/2)/C²D]             (70)

其中：

ξ=192n₂v²c³-384vc⁴-1792n₁v²c³-1920n₁²c²v³+416n₁n₂c²v³

-32n₂²c²v³+256c⁵/n₂+5888n₁²v²c³/n₂+2432n₁vc⁴/n₂

+3968n₁³c³v³/n₂-1024n₁c⁵/n₂²-5248n₁¹vc⁴/n₂²-8704n₁³v²c³/n₂²

-3968n₁⁴c²v³/n₂²+1792n₁²c⁵/n₂³-2048n₁⁵v²c³/n₂⁴-416n₁⁶c²v³/n₂³

+256n₁⁵v²c³/n₂⁴+256n₁⁴c⁵/n₂⁵+384n₁⁵vc⁴/n₂⁵+192n₁⁶v²c³/n₂⁵

+32n₁⁷c²v³/n₂⁵

ζ=128c⁴+1088n₁²v²c²+896n₁vc³-128n₂vc³-320n₁n₂v²c²

+32n₂²c²v²-2176n₁²vc³/n₂-512n₁c⁴/n₂-1600n₁³c²v²/n₂

+640n₁²c⁴/n₂²+2176n₁²vc³/n₂²+1088n₁⁴c²v²/n₂²-512n₁³c⁴/n₂³

-896n₁⁴vc³/n₂³-320n₁⁵c²v²/n₂³+128n₁⁵vc³/n₂⁴+32n₁⁶c²v²/n₂⁴

+128n₁⁴c⁴/n₂⁴

C²、D与(69)时中的C²、D相同。

下面验证以下(70)式的正确性。

当n₁=n₂=1时，

ξ=192v²c³-384vc⁴-1792v²c³-1920c²v³+416c²v³-32c²v³+256c⁵

+5888v²c³+2432vc⁴+3968c²v³-1024c⁵-5248vc⁴-8704v²c³

-3968c²v³+1792c⁵+5248vc⁴+5888v²c³+1920c²v³-1024c⁵

-2432vc⁴-2048v²c³-416c²v³+256v²c³+256c⁵+384vc⁴+192v²c³

+32c²v³=-128v²c³+256c⁵

ζ=128c⁴+1088v²c²+896vc³-128vc³-320v²c²+32c²v²-2176vc³

-512c⁴-1600c²v²+640c⁴+2176vc³+1088c²v²-512c⁴-896vc³

-320c²v²+128vc³+32c²v²+128c⁴=-128c⁴

同样C²、D的值为

C²D=128c[v²+c²(1-β²)^1/2]²(1-β²)^1/2

代入dT/dt有

(ξ+ζ^1/2)/C²D=256c⁵-128v²c³-128c⁴2c(1-β²)^1/2/{128c[v²

+c²(1-β²)^1/2]²(1-β²)^1/2}

=[256v²c²-128cv⁴-256v²c³(1-β²)^1/2]+[-384v²c³+128cv⁴+256c⁵

+(128v²c²-128c⁴)2c(1-β²)^1/2]/128c{v²+c²[(1-β²)^1/2

-1]}²(1-β²)^1/2

=1/(1-β²)^1/2+β²/(1-β²)^3/2

过渡到Einstein狭义相对论得形式。

同理当n₁=n₂=n时，

ξ=192nv²c³-384vc⁴-1792nv²c³-1920n²c²v³+416n²c²v³-32n²c²v³

+256c⁵/n+5888nv²c³+2432vc⁴+3968n²c²v³-1024c⁵/n-5248vc⁴

-8704nv²c³-3968n²c²v³+1792c⁵/n+5248vc⁴+5888nv²c³

+1920n²c²v³-1024c⁵/n-2432vc⁴-2048v²c³-416n²c²v³+256nv²c³

+256c⁵/n+384vc⁴+192nv²c³+32n²c²v³

=-128nv²c³+256c⁵/n

ζ=128c⁴+1088n²v²c²+896nvc³-128nvc³-320n²c²v²+32n²c²v²

-2176nvc³-512c⁴-1600n²c²v²+640c⁴+2176nvc³+1088n²c²v²

-512c⁴-896nvc³-320n²c²v²+128nvc³+32n²c²v²+128c⁴

=-128c⁴

此时

(ξ+ζ^1/2)/C²D

=[-128nv²c³+256c⁵/n-256c⁵/n(1-n²β²)^1/2]

/[128c/n{n²v²+c²[(1-n²β²)^1/2-1]}²(1-n²β²)^1/2]

=-n²v²c²+2c⁴-2c⁴(1-n²β²)^1/2/{n²v²+c²[(1-n²β²)^1/2

-1]}²(1-n²β²)^1/2

=[2n²v²c²-n⁴v⁴-2n²v²c²(1-n²β²)^1/2]+[-3n²v²c²+n⁴v⁴

+2n²v²c²(1-n²β²)^1/2+2c⁴-2c⁴(1-n²β²)^1/2]/{n²v²

+c²[(1-n²β²)^1/2-1]}²(1-n²β²)^1/2

=1/(1-n²β²)^1/2+ n²β²/(1-n²β²)^3/2

过渡到折射率为n的介质中的相对论的相应形式。

而当n=1时有过渡到Einstein的狭义相对论中相应的形式。

从这里的分析可以看出，当n₁=n₂=n时，不同介质中的狭义相对论中的洛伦兹变换、钟慢尺缩公式、同时性的相对性、速度叠加公式、质速关系、质能关系等过渡到同种介质中的狭义相对论中的形式，而当n₁=n₂=n=1时，所有的公式转化为爱因斯坦狭义相对论的全部。

爱因斯坦的狭义相对论，只是上述理论在真空中的特例。