百年相对论（八）

刘文旺

前一段时间，由于出书的原因本“百年相对论”博文系列暂停了，时间过去了一年。现在开始恢复本博文系列的发布。有问题希望朋友们指教。

（二）、不同种介质中的狭义相对论

由前面的分析可知，一方面，在自然界和实验室中存在各种不同的传播光的介质，它们都拥有确定的折射率和不变的光速；另一方面，这些介质都在随地球的自转而运动着，因此。它们不变的光速同样违背经典意义下的速度叠加原理，同样需要解释。

像同种介质中狭义相对论的建立一样，我们提出两个基本的假设：

、光在拥有同种介质的惯性系拥有不变的速度数值，而在不同介质中拥有不同的确定速度数值。

、物理规律在拥有不同介质的惯性系中拥有相同的形式。

如图4所示：

设s系内介质折射率为n₁,s′系中介质折射率为n₂则在两系内的不变的光速为s：c/n₁；s′：c/n₂设两坐标系x轴重合。

s′系相对于s系以不变的速度沿x轴运动，为了比较两系内时空的对应关系，选静止于s′系内的一个光源，在O与O′点重合时放出一束光。设m点在s系内坐标为s(xyzt),在s′系内的坐标为s(xyzt)则有如下关系式成立：

x=ct/n₂                                      (27)

x=l_外+l_内其中l_外为光子在s′外走的距离，l_内为光子在s′内走的距离。

设在车外走的时间t₁,则t₁=vt/(c/n₁)=n₁vt/c则在s′内走的时间为t-t₁=t-n₁vt/c

l_外=(c/n₁)vt/(c/n₁)=vt

l_内=(c/n₂)(t-n₁vt/c)

所以x =vt+(c/n₂)(t-n₁vt/c)                      (28)

x =ax+bt                                      (29)

x=ax+bt                                        (30)

又在s系内考察s′系原点O的运动，由(30)式得

dx/dt=b/a=v                                   (31)

由(29)式得x=a(x-bt/a)=a[(ct/n₂)+vt]

=a[(c/n₂)+v]t

由(30)式得：

x=a(x-bt/a)

=a[vt+(c/n₂)(t-n₁vt/c)-vt]

=a[(c/n₂)(t-n₁vt/c)]

所以有：

vt+(c/n₂)(t-n₁vt/c)=a[(c/n₂)+v]t                (32)

ct/n₂=a[(c/n₂)(1-n₁v/c)t]                      (33)

由(33)式得t=a(1-n₁v/c)t

代入(32)式得：

vt+(c/n₂)(t-n₁vt/c)

=a[(c/n₂)+v]a(1-n₁v/c)t

∴有v+(c/n₂)(1-n₁v/c)=a²[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)

∴a

={[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)}^1/2(34)

b

=av

=v{[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)}^1/2   (35)

可以证明：当n₁=n₂=1时a=1/(1-β²)^1/2、b=v/(1-β²)^1/2为真空的Einstein形式；当n₁=n₂=n时a=1/(1-n²β²)^1/2

b=v/(1-n²β²)^1/2为折射率为n的介质中的应有形式。

令a=ξ则b=ξv所以

x=

{[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)}^1/2(x+vt)

=ξ(x+vt)                                    (36)

x={[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)}^1/2(x-vt)

=ξ(x-vt)                                      (37)

把(37)式代入(36)式得

x=ξ[ξ(x-vt)+vt]=ξ²(x-vt)-ξvt=ξ²x-ξ²vt-ξvt

所以t=[x(1-ξ²)+ξ²vt]/ξv=x(1-ξ²)/ξv+ξt

=ξt-[x(ξ²-1)/ξv]                      (38)

同理x=ξ[ξ(x+vt)-vt]=ξ²(x+vt)-ξvt

ξvt= x(ξ²-1)+ξ²vt

t=x(ξ²-1)/ξv+ξt

=ξt+[x(ξ²-1)/ξv]                          (39)

下面对(36)(37)(38)(39)式进行分析

1、同时性的相对性()

由(39)式得

t₂-t₁=[x₂(ξ²-1)/ξv]+ξt₂-[x₁(ξ²-1)/ξv]-ξt₁

=[(ξ²-1)/ξv](x₂-x₁)+ξ(t₂-t₁)

当t₂=t₁时，t₂-t₁=(ξ²-1)(x₂-x₁)/ξv         (40)

由上式可知，在s′系中不同地点发生的同时事件在s系中并不是同时发生的。

2、运动的时钟推迟——钟慢现象()

在s′系中的某一位置放一个时钟，现观察其走时的大小。

t₂-t₁=[(ξ²-1)/ξv](x₂-x₁)+ξ(t₂-t₁)

由于x₂=x₁t₂-t₁=ξ(t₂-t₁)

所以t₂-t₁=(t₂-t₁)/ξ                             (41)

由于：

ξ={[v+(c/n₂)(1-n₁v/c)]/[(c/n₂)+v](1-n₁v/c)}^1/2

=(c/n₂+v-n₁v/n₂)/[(c/n₂+v-n₁v/n₂)+n₁v²/c]>1

所以t₂-t₁<</span>t₂-t₁即处于动态的s′系中的时钟走时小于s系中的时钟。

3、动体长度在运动方向上的收缩()

如图5所式：

x_b-x_a=ξ(x_b-vt_b)-ξ(x_a-vt_a)=ξ(x_b-x_a)+ξv(t_a-t_b)

由于t_a=t_b（在s系中对物体进行同时测量其两端坐标）

所以x_b-x_a=ξ(x_b-x_a)

令x_b-x_a=l；x_b-x_a=l

l=l₀/ξ                                        (42)

由于ξ>1推出物体运动时长度在运动方向上缩短。

上述分析其时总是站在s系中去分析，就(40)(41)(42)而言还有其相反的形式，现继续分析如下。

4、同时性的相对性()

若站在s′系的角度分析同时性的相对性则由完全类似的推导有：

t₂-t₁

=ξt₂-[x₂(ξ²-1)/ξv]-ξt₁+[x₁(ξ²-1)/ξv]

=ξ(t₂-t₁)+(ξ²-1)(x₁- x₂)/ξv

当t₂=t₁时：

t₂-t₁=(ξ²-1)(x₁-x₂)/ξv                         (43)

由上式可知，在s系中为同时的两个异地事件，在s′系中并不是同时的，只有当x₁=x₂时，即同时发生的事件也处于同一位置，这时两系中的事件的同时性才具有绝对的意义。

5、运动的时间推迟——钟慢现象()

在s系中放一个时钟，现在s′系中观察其走时大小。

t₂-t₁

=ξt₂-[x₂(ξ²-1)/ξv]-ξt₁+[x₁(ξ²-1)/ξv]

=ξ(t₂-t₁)+(ξ²-1)(x₁- x₂)/ξv

由于x₁=x₂代入上式有：

t₂-t₁=ξ(t₂-t₁)                                  (44)

ξ‹1

∴（t₂-t₁）=(t₂-t₁)/ξ

∴（t₂-t₁）>（t₂-t₁）

即s′系中的观测者也觉得s系中的时钟走时变慢了。

6、动体长度在运动方向的收缩()

如图5所示：就是我们前面已经推导的

x_b-x_a

=ξ(x_b-vt_b)-ξ(x_a-vt_a)=ξ(x_b-x_a)+ξv(t_a-t_b)

由于t_a=t_b（在s系中对物体进行同时测量其两端坐标）

所以x_b-x_a=ξ(x_b-x_a)

令x_b-x_a=l₀

x_b-x_a=l

l=l₀/ξ                                         (42)

由上式可知，s′系中的观察者观测到的物体的长度小于s系中物体的长度，即s′系中的实验者也会发现s系中物体的长度因运动而在其方向上长度变短。

有趣的是：

x_b-x_a

=ξ(x_b+vt_b)-ξ(x_a+vt_a)=ξ(x_b-x_a)+ξv(t_b-t_a)

由于这个实验是在s′系内同时进行测量的因此：t_b=t_a

由此推出：x_b-x_a=ξ(x_b-x_a)

x_b-x_a=(x_b-x_a)/ξ                             (45)

令x_b-x_a=l、x_b-x_a=l₀则有：

l=l₀ξ                                      (46)

与上面的得到的相反。

这就充分体现了不同惯性系间的等价性。

7、不同惯性中运动速度的变换

由(36)式可知：dx=ξ(dx+vdt)

dt=ξdt+(ξ²-1)dx/ξv

令u_x=dx/dt

=ξ(dx+vdt)/[ξdt+(ξ²-1)dx/ξv]

=ξ(u_x+v)/[ξ+(ξ²-1)u_x/ξv]

=ξ²v(u_x+v)/[ξ²v+ξ²u_x-u_x]

=ξ²v(u_x+v)/[ξ²(v+u_x)-u_x]

即u_x=ξ²v(u_x+v)/[ξ²(v+u_x)-u_x]

=ξ²v(u_x+v)/[(ξ²-1)u_x+ξ²v]                  (47)

同理由于y=y、z=z可推出：

dy=dy

dz=dz

u_y=dy/dt=dy/[ξdt+(ξ²-1)dx/ξv]

=u_y/[ξ+(ξ²-1)u_x/ξv]=ξvu_y/[(ξ²-1)u_x+ξ²v]

即u_y=ξvu_y/[(ξ²-1)u_x+ξ²v]                  (48)

u_z= dz/dt=dz/[ξdt+(ξ²-1)dx/ξv]

=u_z/[ξ+(ξ²-1)u_x/ξv]

即u_z=ξvu_z/[(ξ²-1)u_x+ξ²v]                  (49)

相反：

u_x=dx/dt=ξ(dx-vdt)/[ξdt-(ξ²-1)dx/ξv]

=ξ(u_x-v)/[ξ-(ξ²-1)u_x/ξv]

=ξ²v(u_x-v)/[ξ²v-(ξ²-1)u_x]                    (50)

u_y=dy/dt=dy/[ξdt-(ξ²-1)dx/ξv]

=u_y/[ξ-(ξ²-1)u_x/ξv]

=ξ²vu_y/[ξ²v-(ξ²-1)u_x]                       (51)

u_z=dz/dt= dz/[ξdt-(ξ²-1)dx/ξv]

=u_z/[ξ-(ξ²-1)u_x/ξv]

=ξ²vu_z/[ξ²v-(ξ²-1)u_x]                       (52)

（未完待续）