走进后相对论时代（二十八）

    刘文旺

相对论的发展过程中，有众多的科学家参与进来。爱因斯坦的数学老师闽科夫斯基就是其中的一位。据说在爱因斯坦上学时，这个米可夫斯基并不喜欢爱因斯坦，说爱因斯坦是一个懒猪。

当然，我们不是为了算账，爱因斯坦在上学时确实是一个偏科的学生。他对物理过程如痴如醉，但是由于数学的枯燥性，是这个伟大的科学家不感兴趣。其实这也是非常正常的。我们当中的每一个人中真正喜欢数学的人可能并不多。我在上大学的时候，就同数学老师发生过冲突。

数学里的东西确实让人感兴趣的不多。我学数学纯粹是为了毕业的60分。不过后来才发现，没有数学也是很困难的。无论是狭义相对论还是广义相对论公式的都是进过严格的数学推到的。

我们继续看爱因斯坦相对论的到处过程：

6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν（a)=((u+v1)/(u-v2））ν（b).）

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是t(b），由钟慢效应可知，A系中的钟测得的时间为

t(a)=γt(b) (1).

探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+vt(a))/c，则

t(N)=(1+β）t(a) (2).

相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

ν（b）t(b)=ν（a）t(N) (3).

由以上三式可得：

ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b).

7．动量表达式：（注：dt=γdτ，此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2）因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）

牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为（X,Y,Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

8．相对论力学基本方程：：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。9．质能方程：

Ek=∫Fdr=∫（dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

10．能量动量关系：

E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2），E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

1．公理，无法证明。

2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，

dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).

则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

得：tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ（x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ（t-ux/c^2)

3．4．5．6．略。

7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2），下式中dt=γdτ）

令r=(x,y,z,ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=（γv,icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=（γmv,icγm)=(Mv,icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力）

四维加速度：ω=/dτ=（γ^4a，γ^4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

8．质能方程：

fV=mωV=m（γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式））

故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2

广义相对论内容

相对论问世，人们看到的结论就是：四维弯曲时空，有限无边宇宙，引力波，引力透镜，大爆炸宇宙学说，以及二十一世纪的主旋律--黑洞等等。这一切来的都太突然，让人们觉得相对论神秘莫测，因此在相对论问世头几年，一些人扬言"全世界只有十二个人懂相对论"。甚至有人说"全世界只有两个半人懂相对论"。更有甚者将相对论与"通灵术"，"招魂术"之类相提并论。其实相对论并不神秘，它是最脚踏实地的理论，是经历了千百次实践检验的真理，更不是高不可攀的。

相对论应用的几何学并不是普通的欧几里得几何，而是黎曼几何。相信很多人都知道非欧几何，它分为罗氏几何与黎氏几何两种。黎曼从更高的角度统一了三种几何，称为黎曼几何。在非欧几何里，有很多奇怪的结论。三角形内角和不是180度，圆周率也不是3.14等等。因此在刚出台时，倍受嘲讽，被认为是最无用的理论。直到在球面几何中发现了它的应用才受到重视。

空间如果不存在物质，时空是平直的，用欧氏几何就足够了。比如在狭义相对论中应用的，就是四维伪欧几里得空间。加一个伪字是因为时间坐标前面还有个虚数单位i。当空间存在物质时，物质与时空相互作用，使时空发生了弯曲，这是就要用非欧几何。而且不存在没有物质的空间，因为就算有你也永远无法发现，因为当你看见它的同时，它就有了物质，最起码是光。

相对论预言了引力波的存在，发现了引力场与引力波都是以光速传播的，否定了万有引力定律的超距作用。当光线由恒星发出，遇到大质量天体，光线会重新汇聚，也就是说，我们可以观测到被天体挡住的恒星。一般情况下，看到的是个环，被称为爱因斯坦环。爱因斯坦将场方程应用到宇宙时，发现宇宙不是稳定的，它要么膨胀要么收缩。当时宇宙学认为，宇宙是无限的，静止的，恒星也是无限的。于是他不惜修改场方程，加入了一个宇宙项，得到一个稳定解，提出有限无边宇宙模型。不久哈勃发现著名的哈勃定律，提出了宇宙膨胀学说。爱因斯坦为此后悔不已，放弃了宇宙项，称这是他一生最大的错误。在以后的研究中，物理学家们惊奇的发现，宇宙何止是在膨胀，简直是在爆炸。极早期的宇宙分布在极小的尺度内，宇宙学家们需要研究粒子物理的内容来提出更全面的宇宙演化模型，而粒子物理学家需要宇宙学家们的观测结果和理论来丰富和发展粒子物理。这样，物理学中研究最大和最小的两个目前最活跃的分支：粒子物理学和宇宙学竟这样相互结合起来。就像高中物理序言中说的那样，如同一头怪蟒咬住了自己的尾巴。值得一提的是，虽然爱因斯坦的静态宇宙被抛弃了，但它的有限无边宇宙模型却是宇宙未来三种可能的命运之一，而且是最有希望的。近年来宇宙项又被重新重视起来了。黑洞问题将在今后的文章中讨论。黑洞与大爆炸虽然是相对论的预言，它们的内容却已经超出了相对论的限制，与量子力学，热力学结合的相当紧密。今后的理论有希望在这里找到突破口。

根据广义相对论中“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空”的思想，爱因斯坦给出了著名的引力场方程（Einstein's field equation）：R_ - \fracg_ R = - 8 \pi {G \over c} T_

其中 G 为牛顿万有引力常数，这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。加入宇宙学常数后的场方程为：R_ - \fracg_ R + \Lambda g_= - 8 \pi {G \over c} T_

需要补充的是，四维空间的提法，纯粹是一种方程上的考虑，而根本就不是真正存在四维空间。但是这一思想像相对论的影响一样，迅速在无聊世界蔓延开来。尤其是在量子力学及随后的粒子物理中，多维空间年级的思想为强势引入到物理学中，这是物理学的不幸。更是人类的不幸。相对论的数学只有很少人能学懂。这个能使人们惧怕相对论的原因吧。

至今在大学里，学习相对论的提起广义相对论很少有不烦的，究其原因很多。这个方程是一个没有解的方程，必须加一些假设才可以，这体现在在天体物理中，引入不同的假设可以有不同的宇宙演化模型，加莫夫等人的大爆炸理论，就是这样诞生的。

物理学离不开数学，但数学本身绝不是物理。这时靠科学研究的人需要警惕的。

（未完待续）