物理世界（二十四）

刘文旺

牛顿的《自然哲学的数学原理》（五）

由上面的分析可知：

1、原理及其推导产物-定理可能是错误的、不完善的。可以修改甚至完全颠覆。

例如，

几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及。此外，还有古印度，和古巴比伦，当然还有我们古老的中国。其年代大约始于公元前3000年。

尼罗河

尼罗河的泛滥给当地人民带来了巨大的灾难，人们通过天文观测发现，每当天狼星与太阳相伴而升时，古老的尼罗河就要泛滥了。人们利用这一点，在这一现象刚出现时，立即采取了补救措施，从而避免了生命财产的损失。

泛滥的尼罗河冲毁了居民的美好家园，为了重新划分土地，及出于对各家各户的田地的大小的计算的需求,早期的几何学具有明显的实用性，因此主要是关于长度，角度，面积和体积的计算。后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。“几何学”这个词，是来自希腊文，原来的意义就是“测量土地的方法”。“几何学”这个词一直沿用到今天。现在已经很少有人注意几何的原意了。只知道一些定理、公理和复杂的证明技巧。

    公元前338年，希腊人欧几里得，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》。

在欧几里得的《几何原本》里提出了五条公设：

1，过两点能作且只能作一条直线。

2，线段（有限直线）可以无限地延长。

3，以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。

4，任何直角都相等。

5，同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

人类就是聪明，很多的人都注意到这一公理存在问题。对这一公理的修正或说补充。诞生了非欧几何。从而拓展了我们的视野，也极大地丰富了几何的内容！

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，走了另一条路子——逆证法。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设。通过复杂的数学证明，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论体系。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。

罗巴切夫斯基

罗巴切夫斯基几何的公理系统，和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。他本人也因此被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

创新、创新呀！

完全类似地。

同样对第五公理的拓展诞生了黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何的不同之处，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，至少，那就意味着可以有无数多条。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？经过推理演算黎曼回答了这个问题从而建立了新的非欧几何——黎曼几何。

黎曼、罗巴切夫斯基的这种思维真是漂亮！不禁使我想起了伽利略否定亚里士多德的重物下落的速度快于轻物体的理想实验：轻物体下落速度慢，重物体下落速度快。那么，把一重一轻的两个物体两在一起会怎样哪？一方面，按亚里士多德的观点，轻物体下落速度慢，重物体下落速度快。因此，由于轻物体的拖累使重物体的下落速度减慢了，从而整体下落速度减慢；但另一方面，这时两者的质量之和不是更重了吗，整体下落速度应该变快呀。这个矛盾无法解释，因此，伽利略通过极其巧妙的思维实验，否定了亚里士多德的思想。至于是否真的在比萨斜塔上做过抛铁球试验则是另一回事。就像当年牛顿发现万有引力时，是否真的被从苹果树上掉下来的苹果砸中一样。

吗  也许这都是传说。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。在球面上能画出的最长的直线就是大圆的周长。

看看球面上的经度线，有助于对这一思想的认识。它们总是交汇于地球的两极。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中，描述引力场的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里近似均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题基本相同并且都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此，从逻辑上讲这三种几何都是正确的。

按照相对论的观点，质量会使时间与空间发生弯曲现象，在质量较小、力场强度较弱时，如地球的质量较小，其造成的弯曲不明显。因此，在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧氏空间；但在有较大质量存在的引力场中，时空的弯曲就会明显存在，这时的空间要用黎曼几何描述。

由此可见，在原有的原理不完善时，可以加以补充使其更加完美。从而扩大了它的适用范围。没有罗巴切夫斯基创建的罗巴切夫斯基几何，黎曼创建的黎曼几何，我们就无法描述球面上、双曲面上的图形特点。在这样的空间中我们就无法进行有效的计算。为此我们见一脸疑惑而一筹莫展。

             黎曼

在这里需要说明的是，一个好的理论如果被用错了地方，也是一种悲剧。

狭义相对论的钟慢尺缩，使存在质量的时空变成弯曲的时空：例如，在一个旋转的圆盘上，由于线速度的不同，不同半径处的时钟有不同的读数、同一物体的质量、大小不同。周长变短：L=L₀[1-(v/c)]^1/2，而r不变造成L=2πr中的π会变小，三角形内角和不再是180⁰。因此，有质量存在时，符合狭义相对论的时空观的时空是弯曲的。借此，爱因斯坦建立了广义相对论。

在这里，爱因斯坦没有认识到，这是狭义相对论本身的错误造成的。

例如，两个天体质量分别是m₁、m₂，相距r，则两者间的万有引力是：F=Gm₁m₂/r²，我们假设有一个弹簧秤显示这一作用力的大小为8N。当观测者沿与两者连线夹角为α的方向运动时，他得到的引力是：

F^、=Gm₁/[1-(v/c)]^1/2m₂/[1-(v/c)]^1/2/{rcosα[1-(v/c)²]^1/2}²=F/[1-(v/c)²]²(cosα)²=8N/[1-(v/c)²]²(cosα)²

因此：引力与运动速度、夹角有关。但事实上，无论这个观测者怎样运动，他看到的弹簧秤读数总是8N。

     这怎么解释？

图一

     “介质中狭义相对论”的建立、光速不变原理的错误，否定了狭义相对论。而广义相对论，是在狭义相对论钟慢尺缩的时空观基础上建立起来的，狭义相对论的错误，使得广义相对论失去了存在的基础、前提。

  还有，在旋转的圆盘中，周长变短造成π变小，三角形内角和小于180⁰。这对应的是罗巴切夫斯基几何，而不是黎曼几何，黎曼几何中三角形内角和大于180⁰。广义相对论用黎曼几何，描述弯曲的罗巴切夫斯基空间是没有数学依据的。

2、定律是实验的结果，因此，它只能有不同的解释、不同程度的完善但不能被推翻。

     牛顿的万有引力定律被广泛地应用在天体运动的阐述中。它是艾萨克•牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适万有引力定律表示如下：任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学本质或物理状态以及中介物质无关。

     公式如下：

     但是，随着人们观测能力的增强，人们发现，许多天体的运动不能很好地应用牛顿的这一理论加以解释。如水星的进动问题。

     为了解释这一现象，人们认为，万有引力定律可能不完全满足平防范比率。例如纽康认为，引力应该是距离的2+1.574×10-7。但是，当万有引力描述地球环绕地球的运动中，这一假设又不成立了。

这个问题就需要我们进行解释、修正。

定律描述的现象就是事实，不能被推翻。只能有不同的解释！

（未完待续）