物理世界（十八）

刘文旺

经典物理学部分（三）

万有引力定律的发现

当然是牛顿最后完全解释了行星环绕太阳的运动，卫星环绕行星的运动。也是其个人在因素决定的。这其中包括起身后的数学基础。这也是这篇物理巨著冠以“数学原理”的原因吧。牛顿发现万有引力定律的过程中包含着丰富的物理学思想和物理学方法论内容，其主要的思路与运用的物理学方法大致体现在以下几方面：

1、运用科学想象和推理，牛顿论证了行星运行都要受到一个力的作用。

牛顿对行星运动的研究工作首先是从研究月球环绕地球的运动开始的。牛顿想象，如果没有任何力作用于月球的话，根据牛顿当时已发现的牛顿第一定律可知，月球就应当做匀速直线运动。但月球是绕地球作圆周运动，所以月球必定要受到力的作用。牛顿当年写道：“没有这种力的作用月球不可能保持在自己的轨道上；如果这个力比轨道所需的力小，则它使月球偏离直线的程度不够；如果这个力比轨道所要求的力大，则它使月球偏离直线的程度太大，并使月球的轨道更靠近地球。”

那么什么力维持了月球环绕地球旋转的运动呢？据说，有一次，牛顿正在思考这个问题，忽然看到一个苹果从树上掉了下来，这是他猛然醒悟：已知苹果是受重力作用而下落的，他推想，如果苹果树长得很高，熟透了的苹果会不会落地呢？当然是会的！但如果苹果树长得象月球那么高，树上的苹果是否还会落地呢，牛顿作了合理的设想，设想这种作用力的范围要比通常所想象的还要大得多，比如说，很可能一直延伸到月球那么高，因此，这样即使苹果树长得象月球那么高，苹果仍会落地的。正是这种作用力使地球对月球施加影响。

2、充分运用类比推理的方法，牛顿推证了维持行星运行所受到的力，就是一种连续地指向一确定中心的重力。

牛顿由地面上的苹果下落联想到天上的月球也受一种力的作用，但进而思考，月球为什么不会象树上的苹果那样落地呢？这样他又联想到物体的旋转问题：绳子的一端系着一块石头，另一端抓在我们手中，让石头作旋转运动，这时如果我们松手，石头就会沿直线轨道飞出去，这说明石头之所以作圆周运动是由于一种力拉着石头。进而类比，这块石头好比月球，而我们的手又相当于地球，手通过绳子施于石头的力又很相似于地球施于月球的作用力。

牛顿接着又描述了一个思维实验——从高处平抛一个球的理想实验：他设想，从高山上将铅球平抛出去，在重力作用下，它就沿抛物线落到了地面。如果平抛速度增加，它就会落得更远一些，再增加抛出速度，则铅球可能会绕地球半圈。当抛出速度足够大时，铅球就会绕地球一圈、两圈、乃至永远绕地球作圆周运动而不落回到地面上，这说明，只要有一个指向确定中心点的力，又具有足够的初速度（现在被称为第一宇宙速度），则物体就可作圆周运动。把月球类比于这个铅球，则可知，月球受一个指向确定中心点的力，所以才会作圆周运动。行星也应如此。

当时牛顿已经知道了开普勒三定律。开普勒第二定律是说：对于任何一个行星来说，它的矢径（行星到太阳的联线）在任何地点、在相等的时间内，沿轨道所扫过的面积相等。（这条定律也适用于月球绕地球的运行）牛顿则寻找在相等的时间间隔内物体若受一指向确定中心的力的作用，物体到中心联线扫过的面积存在什么规律？牛顿从数学上证明了（证明过程从略）在这种情况下，各面积之间存在相等的关系。牛顿接着又证明了这个命题的逆命题，即在任何一曲线上运动的物体，如果它到一确定点的连线在相等时间内扫过相等的面积，则物体受一指向该确定点的向心力。牛顿接着由开普勒第二定律所概括的现象推出行星或卫星受一连续的指向一确定中心的力，并且这个中心就在椭圆的一个焦点上。

三、运用数学方法，牛顿推导出行星运行所受到的向心力遵从平方反比定律

在此，数学史牛顿从拥有相同思维的人群中脱颖而出。牛顿在由开普勒第二定律得到的存在一个连结指向一确定中心点的力作用于行星上的基础上，进一步去寻找物体在前人提出的椭圆轨道上运动时，所受的指向椭圆焦点的向心力的规律。牛顿利用了开普勒第一定律，用数学方法证明了（证明过程从略）沿所有圆锥曲线（或双曲线、抛物线、圆、椭圆等）在任何时刻的向心力必定与该物体到焦点的距离平方成反比，其数学形式为

F＝c/R2 即──向心力定律。

式中R 是从该物体中心到椭圆焦点的距离，c 为该物体的一个常数。

牛顿由开普勒第三定律进一步推知向心力平方反比定律。其数学推导为：设某一行星的质量为m，行星的运行轨道近似圆（由于行星椭圆轨道的偏心率很小，如地球为0。0167，因而其轨道可近似看作圆）根据开普勒第二定律，可将行星视为匀速圆周运动由牛顿第二定律。

式中m—行星质量，T—行星运行周期，R—圆周轨道半径。

再由开普勒第三定律T²=kR³代入上式得

 ，

得：

 

式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质有关的量，称为太阳的高斯常数；m 为行星质量。由上式可知：引力与行星的质量成正比。

在这里，牛顿通过研究引力使不同大小的物体同时落地和同磁力的类比，得出引力的大小与被吸引物体的质量成正比，从而把质量引进了万有引力定律。

牛顿又进一步用实验作了验证：他用摆做了一系列实验，实验的结果以千分之一的准确度表明，对于各种不同的物质，万有引力与质量的比例始终是一个常数。

牛顿又接着作了大胆的假设，行星受到的引力与太阳的质量有关，并用数学作了推证地球对一切物体包括太阳的引力应为：

其中，（μ′为地球的高斯常数，M为太阳的质量），太阳对地球的引力为

，

（式中m是地球的质量，μ是太阳的高斯常数）。

根据牛顿第三定律有：F＝F′即

这是一个与地球和太阳无关的常数，最后，引力的平方反比定律的数学形式为：

。

拥有维持月球运动的力具有平方反比关系的思想的人很多，向心力公式也不一定是牛顿一人推导出来的（具有可能是惠更斯首先提出），但是最终完成万有引力的数学形式的确是牛顿。可见，牛顿可能不是最聪明的，但是他却把前人的思想、研究成果，结合自己的想象，尤其是数学推导，终于为我们奉献出了万有引力定律。并把物理学推到了新的高潮。这是我们值得思考的。

牛顿自己也说得好，我之所以比别人看的远，是因为我站在了巨人的肩膀上——大度、宽容呀！伟大呀！！

四、运用演绎推理方法，牛顿把引力的平方反比定律推广到一切物体，得出一切物体间均存在引力的结论

牛顿得到万有引力的平方反比关系后，就进一步思考问题的本质所在：符合这个定律的力是什么性质的力？它是由什么决定的？

牛顿首先由月球运行情况探讨了使月球保持轨道运行的力与重力之间的关系。由平方反比定律可知，月球受一指向地球的力的作用，它与月球到地心距离的平方成反比。通过数学计算和实验验证，牛顿得到了月球受的向心力就是重力的结论，这样牛顿就把地面落体运动的原因和月球运行的原因归于同一了。

此后，牛顿运用牛顿第三定律推知，地球对月球也有引力，地球对太阳也有吸引力。牛顿由木星卫星和木星有吸引、土星与土星卫星有吸引，行星与太阳之间有吸引力等现象出发，认为这些和月地之间的现象系“同类现象，使月球不能出离轨道的力的原因可推至于一切行星”。

这样，牛顿就把天体和其运行中心之间的力都归于这种引力作用。

此后，他又由土星、木星会合点附近相互间的“运动失调”以及太阳使月球的“运动失调”现象，进一步推广了他的理论。他提出行星之间和恒星与卫星之间均有引力的作用，于是才提出了万有引力的假说。这样，牛顿由研究月球、地球，以至研究行星、恒星、卫星等推出了一切物体相互间均存在引力的结论。这就是这一引力的普适性。

 

五、运用归纳概括方法，借助数学手段牛顿总结出了万有引力定律，完成了万有引力定律的最后发现工作

     的万有引力假说进行了充分的论证，牛顿由原来得出的天体运行向心力平方反比定律，得出万有引力符合平方反比关系；由引力使不同大小物体同时落地，得出引力的大小和被吸引物体的质量成正比；又由牛顿第三定律，得出吸引物体和被吸引物体的区分是相对的，所以引力也和吸引物体的质量成正比，从而得出引力符符合平方反比律。这样，牛顿就完成了万有引力的最后发现。

     万有引力定律的内容为：宇宙间的任何物体之间都存在相互作用的吸引力，这种吸引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向是沿两物体的联线方向，即：

其中，G 为引力恒量（引力常数：大小为6.67×10-11）；m1、m2 分别为两个相互吸引的物体的质量；R12为物体m2 与m1 间的距离。

在具体的应用中，牛顿理论不断的导验证：

     慧星回归周期的证实。牛顿认为慧星并不象一些人所认为的是一种神秘天体，它同样应遵循力学规律。英国天文学家哈雷参照从前慧星的出现情况，运用牛顿的万有引力理论预言这颗慧星（后人称为哈雷慧星）将于1758 年出现，后经克雷洛计算了木星和土星对这颗慧星的摄动作用，指出它将推迟于1759 年4 月份经过近日点，这个预言果然被证实。其次，引力恒量的测定从地面上的实验对万有引力定律提供了直接证明，1798 年英国物理学家卡文迪士把两个小铅球系在一根直杆的两端，用一根细线从中间吊起，然后用两只大铅球靠近小铅球，经过细线的扭曲测量了大球与小球之间的引力作用，从而得出了引力恒量之值：G＝6.71×10?13 牛顿［厘米］2/克2 。卡文迪士的实验以后又被重复了许多次。并据此计算出了地球的质量与密度，引力恒量的测定为万有引力的计算提供了可能。

    王星的发现。

现后，人们发现天王星的轨道的理论计算总是同实验观测的数值不相符。为此提出了不同的解释。法国的勒维列和英国的亚当斯根据牛顿万有引力定律理论都推测，要是在这一天去还有一个行星就可以解释这一现象。他们都计算出了它的位置。法国天文学家加尔用望远镜在计算出的指定位置上发现了这颗新星（后命名为海王星）。勒维列和亚当斯没有朝天上一瞥，只靠牛顿理论的数学计算就在他们的笔头的尖端看到了新星，这再一次显示了牛顿引力理论的力量。

                                                                                                                                    海王星

     虽然有了爱因斯坦的广义相对论，但是目前在具体的航天事业中，牛顿的理论仍是主要的数学工具。因此，我们不但要学习、应用牛顿的理论，更要学习牛顿的探索方法，尤其是其探索科学的精神。

非常有趣的是：

但是，当人们把更优质的望远镜指向宇宙深空后，却发现了对牛顿理论的偏离。对矮椭球星系的旋转速度的观测发现了星系的发光质量小于引力质量的现象，人们假设存在一种看不到的物质——暗物质。

     星系的观测结果和理论分析均表明漩涡星系外围存在着大质量的暗物质晕。科学家们借助强功率天文望远镜（包括架设在智利的甚大天文望远镜VLT --Very Large Telescope）对距离银河系不远的矮星系进行了共达23夜的研究，此后科学家们还通过约7000余次的计算得出结论称：在他们所观测的这些矮星系中，暗物质的含量是其它普通物质的400多倍。

     30年代，荷兰天体物理学家奥尔特就发现：为了说明恒星在星系中的运动，需要假定在太阳附近存在着暗物质；同一时期，茨维基从室女星系团诸星系的运动的观测中，也认为在星系团中应该存在着大量的暗物质，用来维持其中星系的运动；美国天文学家巴柯的理论分析也表明，在太阳附近，存在着与发光物质几乎同等数量的看不见物质。

（未完待续）