物理学与几何学

作者：刘文旺

一、几何学简介

     圣经上说上帝制造了人类，我说，不止如此，上帝还时时关照着我们，为了告诉上天中他们的存在，不断地与人类开着玩笑。

     上帝让东非产生大裂谷，使这里的地势不断隆起，形成高大的山脉。富含水汽的空气伴随着季风的加强，产生了这里季节性降雨。而此，造成了尼罗河季节性泛滥。是处于北非的古埃及人的生命财产遭到了巨大的损失。

终于有一天，智慧的人们发现，每当天狼星同太阳一同在东方升起的时候，尼罗河就要泛滥了，人们利用这个规律每当天狼星与太阳即将一同从东方升起的时候，就采取了补救措施，避免了生命财产的损失。尽请地在尼罗河水带来的肥沃的土壤种植庄稼。这就迫使他们观测天象，从而关注上天中“上帝”的存在；另一方面，由于尼罗河的泛滥，使得分属于不同家庭的土地的界限消失了，人们为了重新丈量土地，划分地块，就产生了丈量土地的方法。从此人类有了几何学。

埃及胡夫金字塔

因此，几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及。此外还有，古印度，和古巴比伦，其年代大约始于公元前3000年。出于对各家各户的田地的大小的计算,早期的几何学具有明显的实用性，因此主要是关于长度，角度，面积和体积的计算。后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。“几何学”这个词，是来自希腊文，原来的意义是“测量土地的方法”。“几何学”这个词一直沿用到今天。现在已经很少有人注意几何的原意了。只知道一些定理、公理和复杂的证明过程。
    公元前338年，希腊人欧几里得，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》。

雅典帕特农神庙

在欧几里得的《几何原本》里提出了五条公设，头四条公设分别为：

1.过两点能作且只能作一直线。

2.线段（有限直线）可以无限地延长。

3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。

4.任何直角都相等。

第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。人类就是聪明，所有的人都注意到这一公理存在问题。对这一公理的修正或说补充。诞生了非欧几何。从而拓展了我们的视野，也极大地丰富了几何的内容！

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，走了另一条路子——逆证法。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设。同过复杂的数学证明，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

罗巴切夫斯基

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。

罗巴切夫斯基几何的公理系统，和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

完全类似地。

同样对第五公理的拓展诞生了黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

数学家黎曼

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？经过推理演算黎曼回答了这个问题从而建立了新的非欧几何——黎曼几何。

黎曼的这种思维真是漂亮！不禁使我想起了伽利略否定亚里士多德的重物下落的速度快于轻物体的理想实验：轻物体下落速度慢，重物体下落速度快。那么，把一重一轻的两个物体两在一起会怎样哪？一方面，按亚里士多德的观点，轻物体下落速度慢，重物体下落速度快。因此，由于轻物体的拖累使重物体的下落速度减慢了，而整体减慢；但另一方面，这是两者的质量不是耕种了吗，整体下落速度应该变快呀。这个矛盾怎么解释？

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。

按照相对论的观点，质量会使时间与空间发生弯曲现象，在质量较小、力场强度较弱时，地球的质量较小，其造成的弯曲不明显。因此，在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；但在有较大质量存在的引力场中，时空的弯曲就会明显存在，这时的空间要用黎曼几何几何描述。

提起“勾股定理”，人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把我们中国人称的“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。他们认为是他们首先发现了这一定理。该学派鼎盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个综合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

毕达哥拉斯学派

不过，据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。在中国的《周髀算经》中就记述了约公元前1000年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股四、弦五”。不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功于毕达哥拉斯，见下图。

据说，他在得出此定理时曾宰杀了100头牛来祭缪斯女神，以酬谢神灵的启示。由于当时还没有普及教育，这些知识只是掌握在少数人的手里。因此，据说有一个人把这一发现泄露了出去，结果，这个人被淹死在河水中。

信息的闭塞、缺乏教育的普及性造成了科学探索的重复性。

在《考工记·轮人》中记载：马没有力气拉车了，车仍能向前运动一段距离。与亚里士多德的力是维持物体运动的原因的观点同出一辙。

《墨经》内有一句话说得更好：“力，刑之所以奋也”，充分说明了力与加速的关系，是牛顿力学的核心思想。只是我们中国人没有把这里的数量关系用公式表示出来，不然就不叫牛顿定律了。

大约在中国汉代成书的《尚书纬》中的《考灵曜》描述了“地有四游，冬至地上行北而西三万里，夏至地下行南而东三万里，春秋二分是其中矣。地恒动而人不知，譬如闭舟而行不觉舟之运也”。比伽利略在《关于托勒密与哥白尼两种世界体系的对话》中,借用在匀速运动的船中，人们无法知道船是否在运动，来阐述相对性原理早了1500多年。

历史总有惊人相似的一幕！

人们总是习惯于从自己的角度，或从本学科的解读思考问题。这是具有局限性的。

例如，人们一般认为，三种几何的区别在于：罗巴切夫斯基几何是双曲线性空间，其三角形内角和小于180⁰；欧几里得几何是平面型的，三角形内角和等于180⁰；黎曼几何是球面型的，三角形内角和大于180⁰。我认为，这三种几何都正确地反映了在不同的平面或说空间中的点、线、面之间的关系。这三种几何所描述的空间都是客观存在的。这也是三种几何都具有正确性的根本原因。

二、相对论物理学

M-M实验揭示了光速不变现象，对光速不变的解释促成了狭义相对论的诞生。狭义相对论给出了新的时空观，运动物体存在钟慢尺缩。当我们把钟慢尺缩的时空观用来描述引力场时，发现空间是弯曲的。借此，爱因斯坦利用黎曼几何建立了广义相对论。

关于相对论的错误性，可见我的“狭义相对论的终结”——《格物》2016.5、“广义相对论的终结 ”、“ 时空本性”《格物》2017.1，或者见我的博客“相对论综述”。我们这里主要从数学的角度分析相对论的错误，及爱因斯坦本人的逻辑上的混乱。

我们分析如下：

狭义相对论的钟慢尺缩，使存在质量的时空变成弯曲的时空：例如，在一个旋转的圆盘上，由于线速度的存在会使其周长变短：L=L/[1-(v/c)]^1/2，而r不变造成L=2πr中的π会变小，三角形内角和小于180⁰。因此，有质量存在时，符合狭义相对论的时空是弯曲的。借此，爱因斯坦建立了广义相对论。

一方面，在这里，爱因斯坦没有认识到这是狭义相对论本身的错误。

例如，两个天体质量分别是m₁、m₂，相距r，则两者间的万有引力是：F=Gm₁m₂/r²，我们假设有一个弹簧秤显示这一作用力的大小为8N。当观测者沿与两者连线夹角为α的方向运动时，他得到的引力是：

F^、=Gm₁/[1-(v/c)]^1/2m₂/[1-(v/c)]^1/2/{rcosα[1-(v/c)²]^1/2}²=F/[1-(v/c)²]²(cosα)²=8N/[1-(v/c)²]²(cosα)²

因此：引力与运动速度、夹角有关。但事实上，他看到的弹簧秤读数总是8N。

这个问题是狭义相对论所不能解释的。

另一方面，在旋转的圆盘中，周长变短造成π变小，三角形内角和小于180⁰。这对应的是罗巴切夫斯基几何，而不是黎曼几何，黎曼几何中三角形内角和大于180⁰。能用黎曼几何，描述罗巴切夫斯基空间吗？

答案显然是否定的！

那么爱因斯坦为什么要这样做那？

我们不是爱因斯坦，因此，只能进行推测。我们实际生活的空间就是一个球的外表面，因此，这样的空间图像，明摆着是黎曼几何的形状，因此，若存在时空的弯曲，则选择的集合显然是黎曼几何。而不可能是双曲型的罗巴切夫斯基空间。因此，爱因斯坦选择了黎曼几何创建了广义相对论。

但这又明显地于狭义相对论矛盾。运动物体的尺缩现象，必然使原盘的周长减小，从而使π值减小，除非出现运动物体造成尺胀现象。

这种不可调和的矛盾，是这一错误理论本身所固有的。说明了狭义相对论是错误的。而广义相对论是在狭义相对论的基础上建立起来的，因此，狭义相对论的错误，使广义相对论失去了存在的前提。

这里分分明明的事实是：钟慢尺缩的时空观，会使质量存在的空间成为弯曲的罗巴切夫斯基空间，爱因斯坦怎能用黎曼几何描述罗巴切夫斯基空间那？

是无知？

还是无奈？

其实，相对论中的逻辑混乱，在狭义相对论中就明显存在。

人们都说，狭义相对论的建立给了我们新的时空观，运动物体的钟慢尺缩解释了光速不变性。其实，这是把逻辑关系搞反了。因为，狭义相对论首先是在假设光速不变成立前提下，借助于洛伦兹变换推导出来的。

这里存在逻辑悖论。

错误的理论很难推出正确的结论。在狭义相对论中存在双胞胎怪论。凸显了内在的不协调性。

相对论不能解释如下问题：

1、双胞胎怪论：

双胞胎怪论

我们往往认为离开地球的人会更年轻一些，但是，由于运动的相对性，离开地球的人完全有理由认为存在地球上的人更年轻一些。对此，狭义相对论对双胞胎怪论的解释是：离开地球的宇航员由于经历了加减速的过程而年轻。但是，由运动的相对性可知，加速度也具有相对性。因此在这个宇航员看来，我们在经历着加速度过程，他处于静止状态。因此，在他看来我们应该变年轻。所以，用是否经历加速过程是不能解释双胞胎怪论的。

2、在广义相对论中存在，通过虫洞回到过去的悖论。

按相对论，质量较大的天体，在演化的最后若坍塌的尺度小于史瓦西半径就会转化为黑洞，在这样的天体上，物质只能进不能出；与此相反，白洞上的物质则只出不进，两者可用虫洞相连接，一个人可以通过虫洞回到从前。

例如，他可以在其外祖母还没有生出其母亲的时候杀死其外祖母。这违背了因果律。这个黑洞能通过虫洞恢复到原来的恒星状态吗？其丢失的质量从哪来？

虫洞

最后，我们以一个小故事比喻一下爱因斯坦的逻辑悖论。

从前，有一个楚国人，他在大街上卖他的矛和盾，他一会夸自己的矛说：“我的矛很锐利，能刺破所有的盾；一会又说，我的盾很坚固，没有什么武器能刺破它。这时候，有人走过来对他说：“用你无坚不摧的矛，来刺你坚不可摧的盾，会怎样?”那个人听了这番话，只好满脸尴尬地走开了。这个故事告诉我们：说话做事要实事求是，不能前后抵触，充满不可调和的矛盾。爱因斯坦的相对论就是这样的一个充满逻辑悖论的理论。

我希望人们意识到这一点，让爱因斯坦的相对论在我们哈哈的笑声中，尴尬地离开现行的课本，给我们的后代一个自由、独立的思考空间！

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