附件：“介质中的狭义相对论”的推导

该推导过程是教科书中的翻版，只是把真空中的光速C换成了介质中的光速C/n。

介质中的狭义相对论

（一）、介质中的狭义相对论

两个基本假设：

Ⅰ、光在任一种介质中相对于封闭惯性系拥有不变的数值。

Ⅱ、物理规律在一切惯性系中拥有同一种形式。

设介质的折射率为n，s′系为在S中作匀速运动的封闭坐标系，则由广义光速不变原理可知，光在s系及s′系中运动速度都是c/n，如图所示：

x=ax′+bt′⑴

x′=ax-bt   ⑵

在s系中考擦s′系的原点o′的运动由②得dx/dt=b/a。

假定s′系相对于s系以不变地速度v向右运动则有dx/dt=v =>b/a=v

由于s与 s′系中物质的折射率相同，所以从s系进入到    s′系的光子其运动速度不变；从s′系中的光子进入到s系时，其运动速度不变，所以由x=ct/n    xˊ=ctˊ/n

x = c^ˊt=ct/n=a(x^ˊ+bt^ˊ/a)=a(x^ˊ+vt^ˊ)=a(ct^ˊ/n+vt^ˊ)=a(c/n+v)t^ˊ

x^ˊ=ct^ˊ/n=a(x-bt/a)=a(x-vt)=a(ct/n-vt)=a(c/n-v)t

即ct^ˊ/n= a(c/n-v)t  ⑶      ct/n= a(c/n+v)t^ˊ  ⑷

由⑶得：t^ˊ=[na(c/n-v)t]/c=a(c-nv)t/c代入⑷得

ct/n=a(c/n+v)[na(c/n-v)t]/c=na²[(c/n)²-v²]t/c

c²=a²n²[(c/n)²-v²] 

a=c/n[(c/n)²-v²]^1/2=1/(1-n²v²/c²)^1/2 =1/(1-n²β²)^1/2

b=av=v/(1-n²β²)^1/2

∴ x=(x^ˊ+vt^ˊ)/ (1-n²β²)^1/2 ⑸  x^ˊ=(x-vt)/ (1-n²β²)^1/2  ⑹

由⑥得：x^ˊ(1-n²β²)^1/2= x-vt =[(x^ˊ+vt^ˊ)/ (1-n²β²)^1/2]- vt

∴ vt =[x^ˊ+vt^ˊ-( x^ˊ- n²β² x^ˊ)]/ (1-n²β²)^1/2   

    = [x^ˊ+vt^ˊ- x^ˊ+(n²v ²x^ˊ/c²)]/(1-n²β²)^1/2 

∴ t=[ t^ˊ+(n²v x^ˊ/c²)]/(1-n²β²)^1/2     ⑺ 

同理由⑤得：x(1-n²β²)^1/2= x^ˊ+vt^ˊ=(x-vt)/ (1-n²β²)^1/2+ vt^ˊ

∴ vt^ˊ=[x- n²β²x-x+vt]/(1-n²β²)^1/2

=[vt- n²β²x]/(1-n²β²)^1/2 

∴ t^ˊ=[t-n²vx/c²]/(1-n²β²)^1/2    ⑻

如上⑸⑹⑺⑻为两坐标之间的时空换算关系——广义洛伦兹变化：

x^ˊ=(x-vt)/ (1-n²β²)^1/2

y^、=y

z^、=z

t^ˊ=[t-n²vx/c²]/(1-n²β²)^1/2

1、同时性的相对性（Ⅰ）

由⑺得：t₂-t₁=t₂^ˊ+n²v x₂^ˊ/c²-（t₁^ˊ+n²v x₁^ˊ/c²）/(1-n²β²)^1/2

=[（t₂^ˊ-t₁^ˊ）+n²v（x₂^ˊ-x₁^ˊ）/c²]/(1-n²β²)^1/2

由上式可看出在s′系中为同时的两个事件t₂^ˊ=t₁^ˊ而在s系中不是同时的既有时间差：

Δt=t₂-t₁= n²v（x₂^ˊ-x₁^ˊ）/c²/(1-n²β²)^1/2   ⑼

该差值由s′系的运动速度v及介质折射率决定及x₂^ˊ-x₁^ˊ决定。有上式可知，只有x₂^ˊ=x₁^ˊ才会出现在s与s′系都认为是同时的事件

2、运动的时中推迟——钟慢现象（Ⅰ）

在s′系中的某一位置放一个时钟，现观擦其走时的大小

t₂-t₁=[（t₂^ˊ-t₁^ˊ）+ n²v（x₂^ˊ-x₁^ˊ）/c²]/ (1-n²β²)^1/2

=（t₂^ˊ-t₁^ˊ）/ (1-n²β²)^1/2

∴ t₂^ˊ-t₁^ˊ=（t₂-t₁）(1-n²β²)^1/2    ⑽

由上式可知处于运动态的时钟走时小于静止于s系中的时钟，差值由介质折射率n及s′系相对于s系的运动速度。

3、动体长度在运动方向上的收缩（Ⅰ）

参见下图

 

x_b^ˊ- x_a^ˊ=(x_b- vt_a)/(1-n²β²)^1/2-(x_a- vt_b)/(1-n²β²)^1/2                     

=[(x_b-x_a)+v(t_a-t_b)]/ (1-n²β²)^1/2      

由于t_a= t_b                

x_b^ˊ-x_a^ˊ= (x_b-x_a)/ (1-n²β²)^1/2    

其中x_b^ˊ-x_a^ˊ为静止于s系中的物长，x_b-x_a为s系中测得的物长。    令x_b^ˊ-x_a^ˊ=l₀  则s系中测得的物长l为   

l=x_b-x_a=(x_b^ˊ-x_a^ˊ)/ (1-n²β²)^1/2=l₀ (1-n²β²)^1/2    

即l= l₀ (1-n²β²)^1/2        ⑾  

由⑾式可知运动物体的长度在运动方向变短了。

以上的分析与通常的相对论结论完全类似，只是由于n值得引入而有些不同，当n=1即进入真空态是完全过渡到Einstein的狭义相对论理论。

上述分析其时总是站在s系的角度看问题，结果就⑼⑽⑾三式而言，还有相反的形式现续分析如下。

4、同时性得相对性（Ⅱ）

若站在s′系的角度分析同时性的相对性，则完全类似的推导有

t₂^ˊ-t₁^ˊ     

=(t₂-n²v x₂/c²)/(1-n²β²)^1/2-(t₁-n²v x₁/c²)/(1-n²β²)^1/2     

=(t₂-t₁)+(x₁-x₂)n²v/c²/(1-n²β²)^1/2   

由上式可知在s系中为同时得两个事件(t₂=t₁)，在s′系内不是同时的，差值为

t₂^ˊ-t₁^ˊ=(x₁-x₂)n²v/c²/(1-n²β²)^1/2         ⑿

该差值由s′运动速度及介质折射率n及在s系中两地相聚大小决定。x₁-x₂=0时，s与s′才有共同的同时性概念。

5、运动的时间推迟——钟慢现象（Ⅱ）

在s系中放一个时钟，现在s′系中观察其走时大小 

t₂^ˊ-t₁^ˊ=(t₂-t₁)+(x₁-x₂)n²v/c²/(1-n²β²)^1/2   

由于x₁= x₂                  

t₂^ˊ-t₁^ˊ=(t₂-t₁)/ (1-n²β²)^1/2      ⒀

由上式可知t₂^ˊ-t₁^ˊ> t₂-t₁即在s′系看s系中的时钟走得变慢了，且比例一样。由s′系的运动速度v及介质折射率n决定，比较⑽与⒀两式可知，钟慢现象是相对的，即s系中的观察者认为s′系中的是中变慢；而s′系中的观察者认为s系中的是中变慢了，且比例一样。 

那末究竟是谁变慢了，这里没有绝对的水的是中变慢了，有的只是由于观察者不同引起的，由于采用光信号测量手段引起的彼此等价的相对的时钟变慢，由此也解决了双胞胎怪论的现象。

6、动体长度在运动方向的收缩（Ⅱ） 

参见图2，完全类似地有：

x_b-x_a= (x_b^ˊ+vt_b^ˊ)/(1-n²β²)^1/2-(x_a^ˊ+vt_a^ˊ)/ (1-n²β²)^1/2

=(x_b^ˊ-x_a^ˊ)+v(t_b^ˊ- t_a^ˊ)/(1-n²β²)^1/2   

由于此测量是在s系内同时进行的，所以t_b^ˊ- t_a^ˊ=0      

x_b-x_a=(x_b^ˊ-x_a^ˊ)/ (1-n²β²)^1/2                 

l₀=l(1-n²β²)^1/2       ⒁       

即s′系中的观测者同样发现s系中的动体在运动方向的收缩，且比例一样。

由上面的分析不难看出，钟慢尺缩现象及同时性的相对性完全是相对的，没有一个参照系时特殊的。他式由观测引起的，每一个参照系内的观测者的观测结果是完全等价的。同时也只有这样的结论财富和Einstein的相对性原理，不然通过钟慢尺缩现象就能发现参照系之间的区别，从而使不同参照系之间变得不完全等价了。

7、运动速度的和成（s与s′系中速度的变换式）

由⑸式得：dx=(dx^ˊ+vdt^ˊ)/(1-n²β²)^1/2     

由⑹式得：dt=(dt^ˊ+n²vdx^ˊ/c²)/(1-n²β²)^1/2

令 u_x= dx/dt

=[( dx^ˊ+vdt^ˊ)/(1-n²β²)^1/2]/[(dt^ˊ+n²vdx^ˊ/c²)/(1-n²β²)^1/2]

=( dx^ˊ+vdt^ˊ)/ (dt^ˊ+n²vdx^ˊ/c²)

=(u_x^ˊ+v)/(1+ n²vu_x^ˊ/c²)       ⒂

同理u_x^ˊ=(u_x-v)/ (1- n²vu_x/c²)      ⒃

由于在yz两轴上物体没有运动所以y=y^ˊ,z= z^ˊ        

dy=dy^ˊ,  dz=dz^ˊ     

u_y= dy/dt=dy^ˊ/(dt^ˊ+n²vdx^ˊ/c²)/(1-n²β²)^1/2   

=u_y^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1+ n²vu_x^ˊ/c²)        ⒄

u_z= dz/dt= dz^ˊ/(dt^ˊ+n²vdx^ˊ/c²)/(1-n²β²)^1/2

= u_z^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1+ n²vu_x^ˊ/c²)          ⒅

u_y^ˊ= dy^ˊ/dt^ˊ=dy/(dt-n²vdx/c²)/(1-n²β²)^1/2

= u_y(1-n²β²)^1/2/(1- n²vu_x/c²)            ⒆

u_z^ˊ= dz^ˊ/dt^ˊ=dz/(dt-n²vdx/c²)/(1-n²β²)^1/2   

= u_y(1-n²β²)^1/2/(1- n²vu_x/c²)            ⒇

所有这些公式当n=1时回到Einstein的形式，v=0时回到经典形式。

而且，由

u_x^ˊ=(u_x-v)/ (1- n²vu_x/c²)

可知，在u_x=c/n带入上式，会发现

u_x^ˊ=(u_x-v)/ (1- n²vu_x/c²)

  =  (c/n-v)/ (1- n²vc/n/c²)=(c/n-v)/ (1- nv/c)=c/n

   从而我们推导出，在一个惯性系中，光速是c/n，而在另一个相对于该惯性系运动的，任意惯性系中测得的光速也是c/n。这就是介质中的光速不变现象。

8、质量与速度的关系

现在用动量守恒定律来推导粒子的质量与运动速度的关系。

如图3所示：

 

令两个材料形状大小质量完全相同的表面光滑的小球发生完全弹性碰撞，我们令两个小球共同的质心在s中静止，小球在oxy平面内运动，碰撞式两球的连心线与y轴平行，用V₁₀和V₂₀分别代表1、2两球碰撞前的运动速度，因为质心静止，两小球质量还相等，所以有V₂₀= -V₁₀，碰撞后又对称性可知V₂= -V₁，由动量、能量守恒及碰撞的对称性可知，每一小球碰撞前后的质量和速率都不变，于是有v₁=v₁₀,v₂=v₂₀,又由于两球光滑，碰撞时沿x轴不受力，每小球沿x轴的动量不变，可得：v_1x=v_10x, v_2x=v_20x且v_1y=-v_10y, v_2y=-v_20y,再由V₂₀= -V₁₀以及 V₂= -V₁，又有v_20x= -v_10x，v_2x= -v_1x，v_20y=-v_10y v_2y=-v_1y，利用v=v_10x,vˊ= v_20y则碰撞前后粒子运动情况如上图3所示。

现在，我们再在s′系中研究上述问题，令s′以V相对于s运动则由运动速度公式⒂⒄得。

在碰撞前：v_10x^ˊ=0   

v_10y^ˊ=-v^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1-n²v²/c²)=-v^ˊ/(1-n²β²)^1/2     ★

v_20x=-2v/(1+n²β²)  v_20y^ˊ= v^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1+n²v²/c²)   

碰撞后  v_1x^ˊ=0  

v_1y^ˊ= v^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1-n²β²)=v^ˊ/(1-n²β²)^1/2    

v_2x^ˊ=-2v/(1+n²β²)                          ★′

v_2y^ˊ=-v^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1+n²v²/c²)    

=-v^ˊ(1-n²β²)^1/2/(1+n²β²)      

Δv_1y^ˊ= v_1y^ˊ-v_10y^ˊ=2v^ˊ/(1-n²β²)^1/2             ★″ 

Δv_2y^ˊ= v_2y^ˊ- v_20y^ˊ=-2v^ˊ/(1-n²β²)^1/2/(1+n²β²)       

显然两球速度沿y轴的投影的改变量并不象s系中一样等值反号，为了满足动量守恒的要求必须认为在s系中两球质量不再相等，现假设为m₁^ˊ和m₂^ˊ则由动量守恒可得

m₁^ˊΔv_1y^ˊ+ m₂^ˊΔv_2y^ˊ=0      

把★″式代入上式得：

m₁^ˊ/ m₂^ˊ=-Δv_2y^ˊ/Δv_1y^ˊ=[1/(1+n²β²)]/[1/(1-n²β²)]

把1-n²β²=(1+ 2n²β²+ n⁴β⁴-4n²β²)^1/2乘以上式的分子、分母得

m₁^ˊ/ m₂^ˊ=[1-4n²β²/(1+n²β²)²]^1/2    

=1-4n²v²/c²(1+n²β²)²     

把v_2x^ˊ=-2v/(1+n²β²)代入上式得  

m₁^ˊ/ m₂^ˊ=(1- n²v_2x^ˊ2/c²)^1/2       

m₂^ˊ= m₁^ˊ/(1- n²β^ˊ2)^1/2

其中β^ˊ= v_2x^ˊ/c    即在s^ˊ系中观测到的粒子在x^ˊ轴上的运动的速度。    

当v^ˊ很小时，由★′式可知v_1x^ˊ= v_1y^ˊ=0 即V₁^ˊ=0 故m₁^ˊ这时可以看作s^ˊ系中的第一球的“静质量”记为m₀；又由两球完全相同，因此m₀也是第二个球的静止质量。又因v^ˊ为无穷小，即v_2y^ˊ=0可得∣v_2x^ˊ∣= v₂^ˊ，v_2x^ˊ可看成第二球在 s^ˊ系中的速度，于是可得出如下结论即：在一个惯性系中，质点的质量与质点速率有关，若用m₀表示静止的质量，m代表以速率v运动时的质量则有

m= m₀/(1-n²β²)^1/2      (21)     

这就是运动粒子（物质）质量与运动速度的关系

上式中当n=1时即在真空中则相应地回到Einstein的相对论形式，而当v→0时回到经典的结论即m= m₀。

9、动量的定义与物体的质能关系  

有了物体的质速关系m= m₀/(1-n²β²)^1/2后可定义粒子（物体）的动量为 P=mV= m₀V/(1-n²β²)^1/2        (22)  

相应地有力F可定义为dP /dt   即F= dP /dt     (23)     

而功dw=Fdl       (24)

现在推导在上述假定之下的能量与粒子运动质量的关系，假定对粒子所作的功完全变为粒子的动能，则有：

dT/dt=Fdl/dt=FV      把(23)代入上式得  

dT/dt=d(mV)V/dt=m(dV/dt)V+V²dm/dt       

其中  dm/dt=(dm/dv)(dv/dt)=(dv/dt)[(n²v/c²)/(1-n²β²)^3/2]

V(dv/dt)= v(dv/dt)      

代入上式得

dT/dt

=m₀/(1-n²β²)^1/2v(dv/dt)+m₀(dv/dt)v²[(n²v/c²)/(1-n²β²)^3/2]

= m₀v(dv/dt)[(1-n²β²+n²β²)/(1-n²β²)^3/2]  

= m₀v/(1-n²β²)^3/2(dv/dt)

=(d/dt) m₀c²/n²(1-n²β²)^1/2             

积分得：

T= m₀c²/n²(1-n²β²)^1/2+c₁   

其中c₁为积分常数，当质点速度为零时，其动能为零。则由上式可知：c₁=-m₀c²/n²     其中n/c为光子在介质中的运动速度。所以

T= m₀c²/n²(1-n²β²)^1/2- m₀c²/n²  

= mc²/n²- m₀c²/n²             (25)

当n=1时回到真空中的Einstein形式，且在v→0时回到经典形式。    mc²/n²= T+ m₀c²/n²    

令E= m₀c²/n²为粒子总能量则有 E=T+m₀c²/n²         (26)

结论如下：

广义洛仑兹变换：

x^ˊ=(x-vt)/ (1-n²β²)^1/2          （1）  

y^、=y                        （2）

z^、=z                         （3）

t^ˊ=[t-n²vx/c²]/(1-n²β²)^1/2    （4）

其中，n为介质的折射率，β=v/c意义不变。

L=L^，[1-（nv/c）²]^1/2

m=m^，/[1-（nv/c）²]^1/2

t₀=t(1-(nv/c)²)^1/2

E=T+m₀c²/n²、E₀=m₀c²/n²

t^‘₂-t^‘₁=[（t₂-t₁）-v（x₂-x₁）（n²v/c²）]/(1-(nv/c)²)^1/2，

当进入到真空中时，n=1：广义洛仑兹变换、质量及时空的变化、质速关系、质能关系等，狭义相对论完全一样。也就是说，爱因斯坦的狭义相对论是上述理论在真空中的推论。