《函数的单调性》教学设计

一、教材分析

本节内容是北师大版数学必修1第二章第3节函数的单调性，两课时内容，本节是第一课时。函数的单调性是函数的重要性质，学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了一个初步的感性认识。高中阶段，进一步用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维。从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的学习作准备，也为利用导数研究单调性的相关知识奠定了基础．在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。

二、学情分析

在初中阶段通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识，同时经过初中的学习学生已具备了一定的观察、发现、分析、抽象、概括能力，为函数单调性的学习做好了准备,但是把具体的、直观形象的函数单调性的特征用数学符号语言进行定量刻画对高一的学生来说比较困难，同时单调性的证明又是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，刚上高一的学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。

三、教学目标

1.知识与技能：

(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;

    (2)初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。

2.过程与方法：

   （1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；

   （2）通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3.情感、态度与价值观：

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合的思想。

四、教学重点、难点

重点：函数单调性的概念；判断及证明

难点：函数单调性概念（数学符号语言）的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。

五、教学、学法分析

通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识，因此探究时先以基本初等函数为载体，针对它们的图像，依据循序渐进原则，设计几个问题，通过引导学生多思，多说多练，学生回答的同时教师利用多媒体展示，使认识得到深化。在整个教学过程中主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法。 

六、教学过程

（一）创设问题情境  引入课题      

给出德国著名心理学家艾宾浩斯描绘的著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”

 

思考：随着时间t的变化，记忆量y如何变化？这条曲线告诉了你遗忘有什么规律，你打算如何对待刚学过的知识?

学生回答，教师补充。“艾宾浩斯遗忘曲线”从左向右看图像是下降的，对此如何从数学的观点进行解释呢？这种以函数图像的上升或下降为标准对函数进行研究，这就是我们这一节课要学习的“函数的单调性”。板书：课题。

设计意图:利用“艾宾浩斯遗忘曲线”引入新课，可以激发学生的学习数学的兴趣，引发学生探求数学知识的欲望。

展示目标

    教师向学生展示本节课的学习目标及教学重点和教学难点。

    设计意图：让学生明确本节课要学习的内容。

（二）新知探究

1、感性认识函数单调性

问题1、做出下列函数的图象                             

设计意图：检查学生掌握基本初等函数图像的情况.(分组完成不同的任务，及时发现存在问题，教师进行点评。）

问题2、观察函数图象哪部分是上升的，哪部分是下降的？（从左到右）

   (1)函数在整个定义域内上升。

   (2)函数  在整个定义域内上升。

   (3)函数在上升，在上下降。

(4)函数在上升，在上下降。

  对于引导学生进行分类描述,为后面说明函数的单调性是在定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质埋下伏笔。

问题3、怎样用自变量，函数值来描述这种上升和下降？

    上升：某个区间上随自变量x的增大，也越来越大。

    下降：随自变量的增大，越来越小。

问题4、你能根据自己的理解说说什么是增加的、减少的吗？

如果函数在某个区间上随自变量的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增加的；如果函数在某个区间上随自变量的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减少的。

设计意图：

    （1）合理设置层次，为揭示函数单调性做好铺垫。

（2）函数单调性实质上揭示了在定义域的某个子集（或某一区间）上，函数值随自变量的变化而变化，描述函数图像在这个子集（或这一区间）的升降趋势，有利于多角度、深层次揭示这一概念的本质特征，帮助学生体会运用动态观点判断函数的单调性，培养学生形象思维。

2、理性认识函数单调性

问题5、如何用数学语言表达函数值的增减变化呢?

    学生回答，教师根据实际回答情况引导学生得到函数单调性的数学表达式。

(1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1²<</span>2²，所以在上为增加的．

(2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增加的．

(3) 任取,因为,即，所以在上为增加的．

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言

进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷

举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

设计意图：对二次函数的单调性认识由感性上升到理性认识的高度,逐步提升学生的思维高度，为学习函数的单调性做好铺垫，突破难点，同时培养学生的数学表达能力。

这是本节课的难点，为了分解难度老师启发引导学生，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

教师板书：增加的：

一般地，设函数的定义域为A，区间IA：如果对于区间I内的任意两个变量，当时都有，那么就说在这个区间上是增加的。

问题6、你能类比得出减少的定义吗？

学生回答，教师板书。

设计意图：由特殊到一般、具体到抽象，完成用符号语言表示函数在定义域的一个子集A上的单调性定义。

 

单调区间

如果函数在区间A上是增加的或减少的，那么就称A 为单调区间.

在单调区间上增加的图象是上升的,减少的图象是下降的.

问题：说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。加深理解概念

概念辨析：判断题

．

若函数．

因为函数在区间上都是减函数，能否说函数在是减少的?

通过判断题，强调三点：

单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

函数的单调区间不能用并集。

设计意图：通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的再认识。

单调函数

    如果函数在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.

注意：

1.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质。

    2.函数单调性定义中的,一是任意性，不能是某两个特殊值，二是有大小，三是同属于一个单调区间。

    3.区间端点的写法.

    4.有的函数不具备单调性.如函数

知识应用  典型例题

例1：下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,.以及在每一区间上,是增加的还是减少的.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解：函数的单调区间有 ，，，

其中在，上是增加的，在上是减少的.

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调

性的定义进行证明.

设计意图：图像法判断函数的单调性，培养学生观察能力.

例2  证明函数在上是增加的。

证明：设且 ，  则

     

     ，                       

       

       即.

     函数在上是减少的.

教师引导下，得出判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

  （1）取值：在给定区间上任取两个值，且;

  （2）作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

  （3）定号：判断上述差的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

  （4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论.

设计意图：通过本例题给出学生规范的单调性证明格式，并引导学生归纳证明函数单调性的方法步骤，加强函数单调性的理解。

课堂练习：

1.证明函数是增加的.

    2.证明函数在上是增加的.

设计意图：及时巩固证明函数单调性的方法,加深对概念的理解.(学生展示，教师点评，指导学困生）

归纳总结：

请同学们回顾本节课所学内容（简要回答）

    1．函数单调性有关概念;

    2．判断函数单调性的方法：（1）图像法.（2）定义法.

    3.证明函数单调性的步骤:取值—作差变形—判断符号—下结论

4.学到了数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法.

设计意图：培养学生学后反思的习惯及归纳总结的能力.

    思考：除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增加的吗?

设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

课后作业

   1.必做题：习题2—3    A组第2题：（2），（3）.第4，5题

   2.选作题：习题2—3     B组第2题.  

设计意图：不同的人在数学上可以获得不同的发展，每个学生都能够获得这些数学，有专长的，可以进一步发展.因此设计了不同程度要求的题目.

板书设计

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

函数的单调性
1. 函数的单调性定义     2.单调区间	3.单调函数 例1 例2解题过程 证明函数单调性的方法步骤 （1）、（2）、（3）、（4）