【讨论1-1】有限元方法中涉及到函数的逼近及表达(如针对位移函数)，在引论中提到了函数展开，若对于函数的泰勒级数展开(逼近)、傅里叶级数展开(逼近)、以及分段函数展开(逼近)，试对这三种展开方式逼近的收敛性要求进行讨论。

分段函数展开

这个拼出来这个函数，应该说主要的形状逼近应该还是不错的。但是在拼接的地方，它的导数是不连续的，也就是说有很多折点。所以说我们可以看出来，它的函数的阶次低，但是它的连续性（收敛）比较差一些，但是它对整体的逼近程度，也就是说它的形状描述的程度还是不错的。当然为了提高它的精度，我们可以把子域分得更细，同时我们把子域的这个函数，可以用比如刚才说的是线性函数，我们可以用二次函数、三次函数来进行逼近，也可以提高我们逼近的这个连续性的要求。

泰勒级数收敛问题

如果由一个f(x)得到了它所对应的泰勒级数，而且，这个泰勒级数是收敛的。在这种情况下，并不能保证这个泰勒级数一定收敛于这个函数f(x)，即是这个收敛的泰勒级数的和函数有可能是另一个不同于f(x)的s(x)。为了保证这个收敛的泰勒级数收敛于这个函数f(x)，即，以f(x)为其和函数所需要的充要条件，就是“f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零”。我们把，这个泰勒级数收敛，并且收敛于这个函数f(x)，叫做“f(x)可展开成泰勒级数”。

傅里叶级数的收敛问题

 “满足狄利克雷条件的傅立叶级数才收敛于f（x）, 也就是说在任何周期内，f（x）须绝对可积，f(x)才能展开成傅立叶级数。只要 f(x) 可积，就可写出傅立叶系数，但是当 x 是f(x)的连续点时，该傅立叶级数才收敛于 f(x)；当 x 是间断点时该傅立叶级数才收敛于[f(x-0)+f(x+0)]/2。

三种展开方式逼近的小结：傅立叶级数实际上是一种函数的解析表达式，消除了初等函数中用几个式子联合 分段表达的函数之间的界限，他们都融合成为一类无穷多项表达式了。另外，函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多。

【讨论1-2】试举例说明，在生活中，以及在工程技术、科学研究中，针对复杂问题，可以将其简化为一系列简单问题的情况，并就其中的要点及特点进行讨论。

   观察一个汽车的运动情况， 在公路上行驶时，相对于地球，因为尺度相差非常大，可以把汽车简化成一个质点，主要来研究它的车速和开停状况。由于公路的状况特别复杂，有的公路有坡度，有的有拐弯。在拐弯时，汽车由刚体来进行描述；汽车后桥有差速器,使左右轮速度不同才能转弯。决定汽车性能的主要指标是后桥（Rear Axle）的抗疲劳性能。通过一定量台架试验，对汽车后桥半轴进行疲劳寿命检测，汽车后桥半轴经过调质处理后的疲劳寿命平均假定为15万次。这种情况下是把汽车当成变形体来进行描述。汽车在高速行驶中出了车祸，前后左左翻转了几次，折成几段。那么我们可以看出来，汽车车祸这整个过程是质点、刚体加上变形体相互之间的耦合

【讨论1-3】在对复杂几何域进行离散时，若对2D问题，就是分片，有限差分方法及有限元方法都是数值方法，它们的离散方式有何异同？就2D问题进行讨论。…

有限元法  把连续体离散成为有限个互不重叠且相互连接的有限个单元。对于2D问题复杂的几何域, 同样地我们把它分成很多子域,可以分成矩形,也可以分成三角形，多边形单元为基本的构件。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。每个单元的顶点称为节点（或结点）。那么为了规范，为了标准，把里面分出来的这些规范化的子域这些基本构件，把它叫做单元。那么为了方法的规范和标准，分别把常用的单元做成标准化的单元，事先把它的数学描述都做好，放到一个库里面。就可以用基本构件来构建复杂的对象来拼出我们想要的形状，以对2D问题任意几何复杂的情况进行试函数的描述。

有限差分法  对于一个2D问题,简单的形状比如是一个矩形,为这个定义的几何域是个矩形,构造这个函数应该说可以构造得非常漂亮。但是对于一个2D的非规则的几何域，要构造一个基于这个全域的解析函数，那是非常困难的。所以我们只能采取把它切分成很多片，我们叫子域。在每一个片里面，构造相应的简单函数，然后把每一个分片拼出一个全域出来。这样的话我们来构造满足边界条件的试函数，相对来说要容易得多。

以上分片基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 积分用积分和来近似。于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程