典例剖析：不等式的性质及其解集

例1  根据不等式的基本性质，把下列不等式化为＞或＜的形式.

（1）– 7＜0；            （2）＜－＋15；

（3）2＞－5；            （4）－＜－1.

【分析】本例考查了不等式基本性质的简单应用.

【解题思路】

本例利用了不等式的以下三条基本性质：

不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

不等式基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

第（1）小题中，在原不等式的两边都加上7，根据不等式基本性质1，此时不等号的方向不变，所以得：＜7；

第（2）小题中，在原不等式的两边都加上，根据不等式基本性质1，此时不等号的方向不变，所以得：＜15；

第（3）小题中，在原不等式的两边都除以2（或者乘），由于2是正数，根据不等式基本性质2，此时不等号的方向不变，所以得： ＞－2(5)；

第（4）小题中，在原不等式的两边都乘－5（除以－），由于－5是负数，根据不等式基本性质3，此时不等号的方向改变，所以得：＞5.

解：（1）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上7，得＜7；

（2）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上，所以得＜15；

（3）根据不等式基本性质2，在原不等式的两边都除以2（或者乘），>－；

（4）根据不等式基本性质3，在原不等式的两边都乘－5（除以－），得＞5.

【跳出误区】

在解本题时，最容易出现的错误是受到等式的基本性质的思维定势干扰，把不等式的基本性质2、3合在一起，错误地认为“不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，不等号的方向不变”，而不管两边都乘（或除以）的数是正数还是负数，一律不改变不等号的方向.比如，在解第（4）小题时，虽然在原不等式的两边都乘－5（除以－），但是并不改变不等号的方向，得到＜5的错误结果.

例2  不等式＜3与≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来.

【分析】本例考查的是在数轴表示不等式的解集，这是解不等式或不等式组的基础.

【解题思路】

本例中的两个解集＜3与≤3区别在不等号上，值得注意的是用“≥”或者“≤”形式表示的解集中包括这个数；而用“＞”或者“＜”形式表示的解集中不包括这个数. 它们在数轴上表示的方法也不相同，用“≥”或者“≤”形式表示的解集在数轴上表示时，数字处画一个实心的圆点“·”，而用“＞”或者“＜”形式表示的解集在数轴上表示时，数字处画一个空心的圆圈“.”. 在数轴上表示解集时，“大于”的要顺着数轴的正方向画，“小于”的要逆着数轴的正方向画.

解：不等式＜3的范围内不包括3，而不等式≤3的范围内包括3.，在数轴上表示＜3时，在表示3的点的位置画一个空心的圆圈“·”，如图1所示；表示≤3时，在表示3的点的位置画一个实心的圆点“·”，如图2所示.

【跳出误区】

在解本题时，要注意区分起点处使用的实心圆点“·”或者空心圆圈“·”，不能搞混. 可以这样理解：实心圆点“·”表示包括这个点所表示的数，而空心圆圈“·”表示不包括这个点所表示的数. 在数轴上表示解集时画的方向，则符合了“数轴上右边的数一定大于左边的数”的道理.