浅谈平面向量数学思想方法与解题思路

延长县中学    焦存江

 

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的，是数学知识的精华，是将知识转化为能力的桥梁。现就平面向量中的主要数学思想方法表述：

一、平面向量中的主要数学思想方法

1、数形结合的思想方法

数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自特点。数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。

由于向量本身具有代数形式（有序实数对表示）与几何形式（有向线段表示）的双重特点，所以在向量知识的整个学习过程中都体现了数形结合的思想方法。因此，在教学过程中，应注意结合教材内容之特点，及时引导学生捕捉知识与问题中的数形信息，揭示数与形的内在联系与转换方法，帮助学生养成遇数思形，以形助教的良好思维习惯，从而加深理解知识要点，增强应用意识，优化认知结构。

2、平移变换的思想方法

平移变换是研究函数图像或几何图形的一种重要的思想方法。通过适当平移可使较复杂的函数解析式得到简化或某些几何图形中的隐蔽关系更趋明朗。教学中适时渗透这一思想方法，有助于学生深刻理解知识和顺利地解决有关问题。

在平面向量这一章中，相等向量、平等向量共线向量等概念的建立及其相关作图的相关训练；作为向量的一个应用的平移公式的推导、以及运用平移公式解决有关问题，均是这一方法的体现与展示。教学中，有意而及时地对这一思想方法的提示与渗透，于学生数学能力的进一步提高必有裨益。

3、化归转换的思想方法

研究问题时，将一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思维方法称为化归转换的思想。这种思想在公式与定理的推证及数学问题的解决中被广泛地采用，是一种极为重要的思想方法。

在向量教学中，教师经常启发学生有意识地运用这一思想方法来考虑问题，使他们在学习时学得主动、灵活，解题时也就会迅速、正确。如向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量坐标的运算问题 ：三角形形状（按角分类）的判定可归纳为判断向量的数量积与零的大小的关系问题；向量的数量积性质： 作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系。解题时，可根据问题要求选择将向量运算（向量的数量积）转化为实数运算（向量的模）或将实数运算化归为向量运算。此外，将实际问题抽象为数学（如三角形）问题，由未知化归为已知，从特殊对象中归结出一般规律等，也都是化归思想方法获得运用的常见思想形式。所有上述这些都充分展现了化归思想方法在向量中的“用武之地”，实践表明，化归思想方法在向量中的恰当渗透，确能强化学生思维的目标意识，避免盲目思维，提高学习效率，增强思维的敏捷性和灵活性。

4、对应的思想方法

 中学数学中的许多知识蕴含着对应的思想，如数轴上的点与实数；坐标平面上的点与有序实数对；函数中的自变量与函数值；角（弧度数）与实数；方程与曲线等，都具有某种对应关系，体现了对应的数学思想方法。

同样，在平面向量的知识中，这一思想方法也得到了充分展现，如平面向量与它的几何表示（有向线段）或坐标表示（有序实数对）；两个向量的夹角与范围角 ，平面向量的线性表示；点P分有向线段 与所得线段的比值λ（λ≠-1的实数）等，在教学中，注意适时渗透这一思想方法，提示它们之间的对应关系，则可有效地帮助学生突破学习难点，排除学习障碍，树立学习信心，顺利掌握并灵活运用这些知识，同时学生的数学思维能力亦必将得到一定发展。

5、分类讨论的数学思想方法

  分类讨论的思想方法在数学中较为普遍，它主要是依据数学对象的不同属性，将数学对象分为不同情形并对其进行研究的一种思想方法。在平面向量的教学中，适时提示分类的思想，帮助学生掌握和善于运用分类讨论的思想方法，有助于他们对知识的加深认识理解和整理消化，从而掌握其本质规律。

如向量中的一些知识：平行向量可分为同向量或反向向量；向量 和 方向上的投影值，随 与 的夹角的不同有正数、负数或零等三种情形；用向量方法推导正弦定理时，可通过对锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三种情况分别讨论而获得；用正弦定理与余弦定理求解的解三角形分为四种类型，以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等，无一不蕴含着分类讨论的思想方法。教学中的及时揭示与恰当渗透，能有效地帮助学生深刻理解，牢固掌握与灵活运用这些知识，从而形成一定的数学能力，提高数学素养。

    又如在教学线段的定比分点时，运用分类讨论的思想方法，启发学生对P分有向线段（即向量）P₁P₂的比值λ的分析讨论，可得下面的结论；

1）若点P在 上，则λ>0

2）若点P在 的延长线上，则λ

3）若点P在 的反向延长线上，则

4）若点P与P₁重合，则λ

5）若点P与P₂重合，则λ不存在（或视为 ）

通过上述的分类讨论，学生对这一知识点必将理解更深刻，运用更得心应手，同时亦有益于优化思维品质，训练思维的条理性与严密性，培养和发展思维能力。

二、用向量解题的基本思路（向量法和坐标法）

     由于向量有几何形式和代数形式，所以向量成了中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因而向量的引入为中学生解题提供了新的有用的工具，所以在学习时要特别注意和强调向量的工具性。

利用向量知识去解题有两种基本的思考方法：即向量法与坐标法。

1、向量法

例1    已知直线 ⊥平面α，直线 ⊥平面α，垂足分别为A，B。求证：

分析    根据共线向量基本定理，

若能证得 ，            

则 。

证明   在平面α内，过点A作互相垂直向量    ，

以 三个不共面的向量作为基底，

（图2）

沿基底，分解向量 ，

由空间向量基本定理可设                                                           ，            

则： ，                  （1）

                    （2）

由 ⊥α，得 ⊥AC， ⊥AD，同理 ⊥AC， ⊥AD。

又AC ⊥AD，

∴

 且 ，分别代入（1）、（2）得 。∴ ^。。

   从本题的证明过程可以看出，用向量法解题的大致步骤如下：

选定基底；

进行向量间的运算；

结合有关的定理、推论对向量运算的结果进行分析，得出结论。

2、坐标法

例2     设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明直线AC经过原点O。（2001年全国高考理工类题（19）、文史类题（20））

证明   如图3，由于A，B在抛物线 上，

可设 则

C 因A，B，F三点共线，

从而有： （λ为实数），

即（                      

亦即                （ 图3）

又 ∴ ，

故A，O，C三点共线，即直线AC过原点O。

   本题证明直线AC过原点O，利用向量知识只要证明 中实数λ存在即可，这样将 用坐标表示，证明的过程就转化为坐标运算。这种建立适当的坐标系，用坐标来表示向量，通过向量的坐标运算得到问题的解决的就是坐标法。坐标法解决问题的步骤：

建立直角坐标系；

求出题中相关的点和向量的坐标；

利用向量的坐标运算得到问题的结论。

总之，向量蕴含着丰富的数学思想方法，在解有关向量问题时若能充分运用这些数学思想方法，可使许多问题简洁、巧妙的解决。高中阶段学习向量内容有利于他们更好地攀登科学高峰,在现代化建设中发挥骨干作用。

 

参考文献：

[1] 《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）第一册（下）》,人民教育出版社2003

[2] 《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）第二册（下）》,人民教育出版社2003

[3] 王列惠,《谈高中数学中增加“向量”内容》,《数学通讯》,1998年第12期