教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

复习回顾

向量的加法、向量的减法

教师提问

学生回答

复习回顾，引发新知

引入新课

已知非零向量 ，作出 + + 和（ ）+（ ）+（ ）

问题1：它们的大小和方向与向量 比较有什么变化？

学生作图，观察并思考

认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。

新课讲解

1、实数与向量的积的定义：

    一般地，实数与向量的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反；

当  时，．

问题2：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？

小组合作交流，学生单独作答

通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法

问题3：你能说明它的几何意义吗？

小组合作交流，学生单独作答

从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量沿 的方向或反方向伸长或缩短倍。

2、实数与向量的积的运算律：

（1）（结合律）；

（2）（第一分配律）；

（3）（第二分配律）．

数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算。类比数的乘法的运算律，你能说出数乘的运算律吗？

1、教师引导学生作答。

从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固

例1 计算：

（1）； 

（2）；

（3）

．

综合认识向量线性运算。

2、学生练习

通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解。

对于向量 、 ，如果有一个实数 ，使 ，那么由向量数乘的定义知 与 共线，且向量 是向量 模的 倍，而 的正负由向量 、 的方向所决定.

反过来，已知向量 与 共线， ，且向量 的长度是向量 的长度的 倍，即 ，那么当 与 同方向时，有 ；当 与 反方向时，有 .

从上述两方面可知

3、（板书）共线向量定理：向量 、 共线，当且仅当有一个实数 ，使得 .

4、向量共线定理的应用

问题4：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？

思考:  

1) 为什么要是非零向量?

2) 可以是零向量吗?

3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？

合作交流，独立作答.

师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量 的前提下，向量 、 共线，当且仅当有一个实数 ，使得 ；且实数 的唯一性是由向量 和 的模和方向同时决定.

通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力.

练一练

教材P90练习题4题

学生单独作答

从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固

引导学生思考

学生思考作答

共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线

引导学生思考

学生思考作答

共线向量定理的应用二：判断三点共线

课堂小结

一、 的定义及运算律；

      向量共线定理 ，  向量 与 共线.

二、 定理的应用：

（1）  证明向量共线；

（2）  证明三点共线； A、B、C三点共线；

（3）  证明两直线平行：

  直线AB直线CD.

三、你体会到了那些数学思想.

引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.

学生思考作答

综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.

使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.

课后作业

2

已知两个非零向量 不共线，如果 求证：（1） 共线。

（2）A,B,D三点共线。

3如图，在 中，已知 、 分别是 、 的中点，用向量方法证明：

全做

1、2、3、题各层任选两题完成。

分层布置作业，让每个学生都得到发展。