[转载]复数的发展历程
(2018-08-30 21:51:40)
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的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了自然数;随着生产和科学的发展,数的概念也得到了发展:为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了满足记数需要和表示具有相反意义的量,人们引进了负数;为了解决开方开不尽的矛盾,人们引进了无理数;在解方程时,为了使负数开平方有意义,人们就引进了虚数,使实数域扩大到复数域.
十六世纪中叶,意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程 和一元三次方程 时,分别得到类似下面的结果:
,
由于负数在实数系内没有平方根,于是他首先产生了将负数开平方的思想,基于自己的设想,卡尔丹研究了类似于
的新数,并进行了计算.后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则.但最初,人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚,对于卡尔丹将40表示成
的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已,莫名其妙;再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾,因而长期以来,人们把复数看作是不能接受的“虚数”.直到十七世纪和十八世纪,随着微积分的发明与发展,以及这个时期复数有了几何的解释,“虚数”才被揭去缥缈的面纱,渐露端倪.1637年,法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词;同一时期,德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系,除了解方程外,还把它用于微积分等方面进行应用研究,得到很多有价值的结果.1777年,欧拉系统地建立了复数理论,创立了复变函数论的一些基本定理,并开始把它们用到水力学和地图制图学上;欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位,并定义
1797年,挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴,以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数,不同的向量对应不同的点,他还用几何术语定义了虚数与向量的运算,揭示了虚数及其运算所具有的几何意义.
十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.
复数在数学中起着重要的作用,除了上述的代数基本定理外,还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等,特别是以复数为变量的“复变函数论”,是数学中一个重要分支.十九世纪,复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力,已经形成了非常系统的理论,并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程,概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支.同时,它在电学、热力学、弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用.
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说;“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号=-i,而使用=一1)。法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。
德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”。高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。