汪和平    吕晨亮

 

 

摘要：太阳视运动与太阳直射点纬度、观测地纬度有关，空间关系复杂抽象，难以理解，易出错。运用空间向量方法、欧氏几何学和球面三角学可以计算日出日落时间与方位角等。运用太阳视运动仪精确演示太阳视运动规律，直接读取日出与日落方位角与时刻。

关键词：太阳视运动仪；太阳视运动轨迹；太阳视运动

 

一、问题的提出

地球绕日公转，由于黄赤交角的存在，引起太阳直射点在南、北回归线间往返周期移动，又由于地球是球体，导致球面不同纬度地区昼夜长短、日出方位和时间、白天不同时刻的太阳高度与方位等各不相同且不断变化，其中的空间关比较复杂抽象，难以理解，易出现错误。

《日出日落时间和方位的计算及太阳周日视运动轨迹示意图的制作方法》一文（以下简称文1）中运用地球立体光照图推导日出、日落时间和方位角，由于对地球空间关系的错误认识，得出一些错误的结论，如：根据当地纬度（Ф）和当天太阳直射点所处的纬度（δ），可以计算出当地当天太阳出没点的角度（θ=arcsin(tanФtanδ)），并根据这个错误的结论画出了错误的太阳视运动轨迹^[1]，认为：赤道，日出日落方位角θ=0°，太阳正东升起，正西落下，并画如图1错误的赤道二分二至日太阳周日视运动轨迹示意图。文1中给出的武汉市二分二至日太阳周日视运动轨迹示意图也是错误的（如图2）。

 

图1  错误的赤道二分二至日太阳周日视运动轨迹图

 

图2 错误的武汉市二分二至日太阳周日视运动轨迹图

笔者尝试从多个角度剖析、计算、演示太阳视运动轨迹中的空间关系并对文1提出的问题进行探究。

二、运用地球立体光照图推导日出日落时间和方位角

对于非极昼、极夜地区，如图3所示的光照下，O为球心，太阳直射地球上G点，大圆PCQD为晨昏圈，则OG与晨昏圈垂直。过G点的经线圈为KNMGSK，它与经过赤道和晨昏圈两交点的地球经线圈ENFSE互相垂直。小圆MECKDF为观测地所在的纬线圈，A为该小圆的圆心。观测地纬圈MECKDF的纬度为Ф。观测地纬线圈MECKDF与经线圈ENFSE相交于E、F两点。CBD线为晨昏圈平面与观测地纬线圈平面的交线，B为中点。δ是太阳直射点G所在纬度，R为地球半径。观测地纬线圈MECKDF与晨昏圈相交点C为日出点，D点为日落点，在该纬线圈上，M点对应地方时正午，E处的地方时为6：00，设∠CAE＝∠DAF＝θ，为时角。过C点作地球的切平面是日出时观察者所感觉到的大地平面，而不是文1所述的“如果把M地纬线圈中E和F对换一下，M地纬线圈平面就是M地的地平面。” 过C点的经线指示南北，过点C作朝向日出太阳方向的纬线圆的切线为正东，而不是文1中的E点“代表正东方位”，日出时该切线与太阳光线的夹角为日出方位角。

 

图3  地球立体光照图

如图3，在AOB中，有∠AOB =δ；在AOM中，有∠OMA＝Ф，OA = RsinФ，故在AOB中，有AB=OAtanδ=RsinФtanδ。又在ABC中，∠ACB=∠CAE＝θ，AC=AM＝RcosФ,故有sinθ=AB/AC=（RsinФtanδ）/（RcosФ）＝tanФtanδ，θ=arcsin(tanФtanδ)，每15度对应1小时，可将θ换算成地方时，即日出时间为6- arcsin(tanФtanδ)/15。θ=arcsin(tanФtanδ)为时角，而不是方位角^[2]。

如图4所示为观测地纬线圈，AJ与日出点C处的纬线圆的切线平行，即AJ为正东方向。日出时分，太阳光线AH与AM所成角为δ，∠MAJ=θ，则∠JAH为日出时太阳相对于正东方向的方位角α，若太阳直射北半球，则H在观测地纬线圈北面，则为东偏北，否则日出东南。由几何知识得：cosα=cosθcosδ= 161-tan2桅tan2未cos2未</:m:oMath>"> ，

sin²α=1-cos²α=1-cos²δ+sin²δtan²Φ= 16sin2未cos2鈭?/m:t>"> ，即：sin= 16sin未cos蠒pgSz w:w="12240" w:h="15840"/>"> 。

若太阳直射赤道，则晨昏线与赤道垂直，晨昏线也与观测地纬线圈垂直，此时C点与E点重合，C点纬线圆的切线和赤道与晨昏圈交点处的纬线圆的切线平行，又太阳光线与观测地纬线圈及赤道平行，所以二分日全球日出与日落方位一致，东升西落。其余日期地球上任何地区太阳都不会从正东日出^[3]。

 

图4  观测地所在纬圈中空间方位

三、运用球面三角学推导日出日落方位角及日出日落时间

如图5为观测地地平坐标系天球，E、S、W、N分别表示地平圈东、南、西、北方向，Z为观测地天顶，OZ垂直于地平圈，P为北天极，OP垂直于天赤道,太阳在天球上的运动轨迹与地平圈交于C点，则边CW即为日落方位角，记为α。过北天极P与C点的经线与天赤道交于R，若太阳直射点纬度为δ，则边CR长为δ。若观测地的纬度为Φ，则地平圈与天赤道的夹角∠CWR=90º-Φ。在球面三角形CWR中，∠CRW=90º,由球面三角的正弦定理有：

sinδ=sinαsin(90 16掳"> -Φ),所以有sinα= 16sin未cos鈭?/m:t>"> 。

如图5，ZC为过天顶Z与C点的经线，在球面三角PZC中，ZC=90º, PC=90º-δ, PZ=90º-Ф,∠ZPC=t为半昼长，由球面三角的余弦定理有：

cos90º=cos(90º-Ф)·cos(90º-δ)+sin((90º-Ф)·sin(90º-δ)·cost,

化简得，cost= - tanФ·tanδ。

日出地方时为 12-（t/15），日落地方时为 12+（t/15）。^[4]

 

图5  地平圈所在天球坐标系

四、运用太阳视运动仪直观演示日出日落时间和方位角

运用太阳视运动仪^{[5][6][7][8][11]}，可以直接读取日出时间、方位，直观太阳视运动轨迹，帮助师生建立地理空间直观。如图6太阳视运动仪中间外部圆环和内部固定平面表示观测地地平圈，地平圈上方外面固定半球表示观测地天空，球面上的网格线表示高度与方位，即球面上与地平圈平行的纬线为高度角刻度线，每15度一条，从天顶向四周发散的经线为方位角刻度线，每15度一条，便于准确读取太阳在天空中的位置，外球正上方表示观测地天顶。中间可以转动的球为时间节气观测地刻度球，球面上刻有二分日、二至日、太阳直射南、北纬5度、10度、15度、20度的太阳运动轨迹线和地方时时间刻度线、观测地纬度刻度，由时间节气观测地刻度球旋钮转动该球，从外球天顶处可以读取观测地纬度刻度。由太阳直射纬度刻度线可以分辨出地球上的节气，太阳直射纬度由仪器左侧太阳直射点调节开关调节。正午地方时为12点，时间节气刻度球上正午12点所在经线标注有观测地纬度指示刻度，刻度范围从南极点到北极点，故时间节气观测地刻度球转动范围是180度，使从南极点到北极点的任意纬度都对可以应天顶。除两极以外，地平圈四周分别有正东、正南、正西、正北四个方向，其中正南与正北方向有方向指示屏。

运用从球心投射到球面上的太阳位置读取太阳对应的地方时，使太阳视运动的教学与演示由定性描述转向定量分析。该太阳视运动仪操作简便，只需转动刻有视运动轨迹的刻度球，从天空的天顶处读取观测地纬度，调节太阳直射到相应纬度，就可以精确演示不同纬度观测地、太阳直射不同纬度时的太阳视运动及其轨迹。

图7为太阳视运动仪设计图，表示观测地为北纬30度地区的太阳直射不同纬度时太阳视运动轨迹的仪器显示，从地平圈处可以准确读取对应的日出时间和日出方位角。

 

图6  太阳视运动仪

 

图7  太阳视运动仪设计图

五、太阳视运动轨迹及其规律

以文1作者所在武汉市（30.5ºN，114.5ºE）为例，计算并绘制二分二至日出日落时间和太阳视运动轨迹（如图8）。正午太阳高度角H=90º-|Ф-δ|，太阳出没角度sin= 16sin未cos蠁pgSz w:w="12240" w:h="15840"/>"> ，日出时刻T=6-arcsin(tanФtanδ)/15=12-(arccos(-tanФtanδ)/15)。

春秋分日，H=59.5º，=0，θ=0º即太阳于地方时6点正东方日出，地方时18点正西方日落。

夏至日，H=83º，=27.6º，θ=15º即太阳于地方时5点东偏北27.6º方向日出，地方时19点在西偏北27.6º日落。

冬至日，H=56º，=-27.6º，θ=15º即太阳于地方时7点东偏南27.6º方向日出，地方时17点在西偏南27.6º日落。

 

图8  北纬30度太阳视运动轨迹

从太阳视运动仪上可以得到太阳视运动轨迹有以下特征：

1、    在平太阳日下，以地球作为参照系的天球坐标系中，太阳各日的运动轨迹是互相平行的纬圆圈，太阳运动轨迹不会因为观测者位置不同而改变其运行规律，而视运动轨迹就是观测者在地球上不同纬度地区观察到的太阳运动轨迹，由于纬度不同，地球上不同地区所以观察到的太阳运动轨迹圆会与地平面成一定角度，赤道地区对应角度为90度，纬度δ地区对应角度90-δ度，这导致不同地区不同时节昼夜长短、日出日落方位不同。因此地球上有太阳视运动的地区各日的太阳视运动轨迹是互相平行的纬线圆（或圆弧），而不会出现文1所述如图1所示的相交的太阳视运动轨迹图和图2轨迹面不互相平行的情形 ^[9]。

    2、地球上某一地区的太阳视运动轨迹对应的纬线圆关于二分日纬线圆对称，大小相同，如太阳直射南纬n度与直射北纬n度时的太阳视运动轨迹关于二分日太阳视运动轨迹对称，大小相同。其中二分日太阳视运动轨迹纬线圆半径最大，二至日太阳视运动轨迹纬线圆半径最小，因为天球中弧长是表示角度^[10]。

 

    参考文献：

[1]易承望.日出日落时间和方位的计算及太阳周日视运动轨迹示意图的制作方法[J].地理教学,2015(17):25-26;

[2]吕晨亮,张建华.某地日出、日落时刻的精确推算[J].中学地理教学参考,2007(6):31;

[3]汪和平,陈青林.日出方位角的数学分析[J].上海中学数学,2011(11):21-22;

[4]汪和平.运用天球模型画太阳周日视运动轨迹并研判[J].数学通报,2014(2)58-61;

[5]汪和平.光电浑天仪（ZL201110268052.3）[P].国家知识产权局,2011年9月9日;

[6]汪和平.一种太阳视运动度量与演示方法及其装置(ZL201510051193.8)[P].国家知识产权局，2015年2月2日;

[7]汪和平.太阳视运动仪的原理、结构、功能及应用[J].中国教育技术装备,2016(13):44-47;

[8]汪和平.多功能太阳视运动仪[J].中国科技教育,2018(7):30-31.

[9]汪和平,吕晨亮.对太阳视运动教学冷遇的反思[J].中学地理教学参考,2017(4):47-48;

[10]吕晨亮,汪和平.太阳直射点纬度移动速度的数学分析与仪器演示[J].地理教学，2018(9）:48-49.

[11]张树宏,汪和平.运用太阳视运动仪 突破地球运动难点[J].中学地理教学参考,2019(4) :51-53.