如图，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。

(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件?

【答案】(1) mgdsinθ (2)[mg(L+29d) sinθ-μmgs]/30 (3) L＞d+μs/sinθ

【解析】

(1) 由题意可知小车在光滑斜面上滑行时根据牛顿第二定律有mgsinθ=ma

设小车通过第30个减速带后速度为v₁，到达第31个减速带时的速度为v₂，则有v₂²-v₁²=2ad

因为小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，故后面过减速带后的速度与到达下一个减速带均为v₁和v₂；经过每一个减速带时损失的机械能为ΔE=mv₂²/2-mv₁²/2

联立以上各式解得ΔE=mgdsinθ

(2) 由(1)知小车通过第50个减速带后的速度为v₁， 则在水平地面上根据动能定理有-μmgs=0-mv₁²/2

从小车开始下滑到通过第30个减速带， 根据动能定理有mg(L+29d) sinθ-ΔE_总=mv₁²/2

联立解得ΔE_总=mg(L+29d)sinθ-μmgs

故在每一个减速带上平均损失的机械能为

ΔE′=ΔE_总= [mg(L+29d)sinθ-μmgs]/30

(3)由题意可知ΔE′＞ΔE

可得L＞d+μs/sinθ