如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M =4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg, g为重力加速度的大小，不计空气阻力。

（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；

（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；

（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。

【答案】（1）2g，3g；（2）13H/25；（3）≥152H/125

【解析】

（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。

设此时管的加速度大小为a₁，方向向下；球的加速度大小为a₂，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有,

Ma₁=Mg+f

ma₂= f-mg 

得,a₁=2g，a₂=3g

（2）管第一次碰地前与球的速度方向均向下,大小相同。

管弹起的瞬间，管的速度向上，球的速度方向依然向下。

设自弹起时经过时间t₁，管与小球的速度刚好相同。

v₀–a₁t₁=-v₀+a₂t₁

得，

设此时管下端高度为h₁，速度为v，有

h₁=v₀t₁-a₁t₁²/2

v=v₀-a₁t₁ 

此后，管与小球将以加速度g减速上升h₂，到达最高点。

有,h₂=v²/2g

设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H₁，则

H₁= h₁+ h₂

得,H₁=13H/25

（3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为x₁。

在管开始下落到上升H₁这一过程中，由动能定理有,

Mg(H–H₁)+mg(H–H₁+x₁)-4mgx₁=0

得,x₁=4H/5

同理可推得，管与球从再次下落、弹起，球与管的相对位移x₂为

x₂=4H₁/5

设圆管长度为L。管第二次落地弹起后，球不会滑出管外的条件是,

x₁+ x₂≤L

得,L≥152H/125