《方程的认识》怎么教

节选：俞正强

      我们经常讨论怎么把数学课上好,工作时间久了，面对学生各种各样的学习表现，笔者发现数学课首先要上“对”。学生出现许多不良学习状况,其原因都是我们没有上对，即“错”的教一定生出更多“错”的学，而多数教师却不知道自己没有上“对”。这样说，可能有教师会十分不解或十分生气:我上错了吗?

      先来讨论一个例子:

      一辆汽车每小时行驶80千米,5小时行驶多少千米?

      二年级的学生都会这样做:80x5-40(千米)。到五年级，孩子们学习了方程，要求用方程解决问题，于是这道题目要这样做:

解:设5小时行驶。千米，列方程得

x+80=5

x=5x80

x=400

几乎所有的教师都不曾对这样的学习产生过怀疑，这是很自然的啊!

但如果站在学生的角度看这一改变，可能就十分不解:明明80x5就能解决此问题，为什么要如此麻烦地用方程呢?

因此，小学阶段的学生或多或少地存在抗拒用方程解决问题的心理倾向。

在小学高段任教的教师都会有这样的体  验:考试的时候，若非题目后面注明用方程解，学生通常不会主动用方程解决问题。

      因为普遍如此，所以我们认可了这种现象，且视为正常;因为视其为正常，所以我们失去了对自身教学是否正确的审视。

      在此，有必要重新审视关于“方程的认识”这一内容的学习。

      教材对方程给出过这样一个定义:含有未知数的等式叫方程。

      根据这个定义，我们把5+x=8视为当然的方程,求得x=8-5=3,即为方程的解。

      因此，现在小学里把5+=8视为方程的雏形。

二

方程的认识,主要认识两点:

一个认识点是什么是未知数，这点在“用字母表示数”中解决。

另一个认识点是什么是等式，这点应该在“方程的认识”这一课时 解决。

5+3=8是等式吗?为什么?我们从来没有去思考过。

等式须有一个 等量，等式所表示的关系我们叫做等量关系。

数量关系和等量关系一样吗?

在二年级的时候，学生面对的问题是这样的:从甲地到乙地，一辆汽车每小时行驶80千米，5小时行完。

学生可用一个算式来表示:80x5。

这个算式的理解依据是从甲地到乙地有5个80千米。

从量的角度 来思考,速度与时间之间的关系是相乘，相乘后得到一个新的量，即路程。完整地说是速度x时间=路程,此之谓数量关系。

数量关系中的三个量之间是可以互逆的，于是得到

路程+速度=时间路程+时间=速度

到了五年级的时候,学生面对的问题是这样的:

从甲地到乙地，货车每小时行驶80千米，5小时行完;客车每小时行驶100千米,4小时行完。

问题变复杂了一

从二年级时的一件事情个主角演绎出一个故事，变成了五年级时的一件事情两个主角演绎出两个故事。

因为问题变复杂了， 所以思考长度也发生变化了。

货车有货车的速度、时间与路程。客车有客车的速度、时间与路程。

两个主角都做了“从甲地到乙地”这件事情,可见三个量中有一个量是一定的，即路程一定。这个一定的量即为两个主角演绎的两个故事中的等量。

理解了这一一点，学生便有了等量的概念。因为有了等量,就可以把两个算式联结起来，得到

80x5= 100x4

      等式表示两个式子相等，这种关系叫做等量关系。

     与数量关系中的互逆性有别，等式中遵循的是守恒:等号两边同时增加、减少，或同时扩大、缩小，相等关系是不变的，即所谓等式的性质。

      通过以上分析，我们基本把等式这件事情说清楚了。

      通常我们是怎样引导学生认识方程的呢?不论哪个版本的教材，都采用一个天平秤来做道具,左边等于右边，即为等式。

      这种等式的认识混淆了算式和等式存在的差别，只得其形未得其神给学生用方程解决问题带来诸多困惑。

      三

      方程与算术等式与算式不同,进一步的体会可以作如下描述:

      题目:从甲地到乙地，货车每小时行驶80千米，5小时行完,客车每小时行100千米，几小时行完?

      用等式来解决，其思考过程可以描述为:审题:一件事情两个主角，等量为路程,得到等量关系:

      货车的速度x货车的时间=客车的速度x客车的时间

      因为客车的时间未知，设其为x,得到

      80x5=100Xx

      用算式来解决,其思考过程可以描述为:要求客车行了儿小时,必须知道客车行驶的路程和客车的速度,即

       

      客车的速度已知怎么得到客车行驶的路程呢?原来，客车行驶的路程就是货车行驶的路程，因为它们行驶的是同一条路。那么，如何得到货车行驶的路程呢?用货车速度X货车时间，即

已知货车速度为80千米/时，货车行驶时间为5小时，至此，思考过程描述完整此之谓分析法，得到算式：

80×5÷100另一种思路是综合法，即

过程不作叙述。

得到算式与得到等式，其中的差别,孩子们是一定可以体会的。

因为在方程的认识中缺乏对算式与等式的体会，所以混淆不清，使得小学生不肯用方程解,大学毕业后回到小学教书,又不会用算术解。以笔者目之所及，当下小学数学教师中也鲜有人能明白地厘清等式与算式、数量关系与等量关系间的区别与联系。

四

那么，方程的认识怎么教呢?笔者在此勾勒一个初步的线条供大家参考

环节一:复习,教学准备1.审题列式。

题目:从甲地到乙地，一辆汽车每小时行驶80千米，5小时行完。

速度x时间=路程

80x5

2.审题列式。

题目:从甲地到乙地，货车每小时行驶80千米,5小时行完;客车每小时行驶100千米,4小时行完。

80x5

100x4

      环节意图:复习数量关系,形成问题讨论的基础。

      环节二:讨论，认识等量

      1.问题:题目与题目的不同在哪里?结论:题日只有一个主角做-件事情:题目有两个主角做同一件事情。

      2.问题:两个主角做同一件事情,哪个量是一定的?

      结论:路程一定，-定的量即为两个主角的等量。

      3.讨论，认识等式。

      因为两个算式所表示的量是等量，所以两个式子可以用等号相连,得到等式:

      80x5= 100x4环节三:讨论,认识方程1.审题列式。

      从甲地到乙地,货车每小时行驶80千米,5小时行完;客车每小时行驶100千米,a小时行完。

      结论: 80x5=100Xa。

2.讨论:此等式与前面的等式有什么不同?

      结论:此等式含有未知数。

      3.自主阅读书本，理解方程的概念。环节四:小结与作业1.方程的特征是什么?

      2.讨论:以下问题情境，哪些适合用方程?第一组:

      (1)一项铺路工程，甲队每天铺200米,30天完成。乙队每天铺160米，几天完成?

      (2)一批衣服,计划每天生产200件,30天完成。实际每天生产160件,几天完成?

      第二组:

      (1)-一种报纸,a元钱可以买20份，15元钱可以买多少份?

      (2)做一面蓝旗,若宽1米，则长1.5米;若宽3米，则长4.5米。

      结论:是否适合用方程,主要看是否是两个主角在做同一件事情，且是否存有等量。