包装的学问

刘亚东   合肥市长江路第二小学

【教学内容】：新世纪小学数学五年级下册第82-83页

【教材分析】：

本节课是一节实践活动课。主要的教学内容是在学生掌握了长方体特征及表面积计算等相关知识的基础上，进一步探究几个相同的长方体组合成新的长方体的多种方案以及使其表面积最小的最优策略。包装问题在日常生活中经常遇到，教材创设“包装”的情境，使学生综合应用表面积等知识来讨论如何节约包装纸的问题，它不仅培养学生的节约意识，更体现了数学的优化思想，同时有助于培养学生空间观念，提高解决实际问题的能力，感受数学与实际生活的密切联系。

【学情分析】

课前调查：

1、问卷调查（全班76人全部参与）

（1）长方体、正方体分别有什么特征？

（2）一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，请计算它的表面积和体积。

2、谈话了解（选择好、中、差各两人）

（1）两个正方体拼成一个长方体表面积减少了几个原来的面？

（2）至少需要几个相同的正方体可以拼成一个较大的正方体？你能想象出拼成后的图形吗？动手画一画。

（3）两个相同的长方体，长、宽、高分别是3厘米、4厘米、5厘米，把它们拼成一个新的长方体后，你能想象出它的长、宽、高吗？你会计算新的长方体的表面积吗？

在本课学生学习之前，学生已经熟练掌握了长方体、正方体的特征，能正确、迅速的计算出单一物体的表面积、体积，能把几个相同的正方体组合成新的正方体。初步接触了由两个相同的正方体拼成一个长方体后表面积发生的变化。但是，对于涉及组合一个立体图形有什么图形的组成问题，特别是由文字呈现时，有近一半的学生接受有困难，这提示我：（1）在帮助学生建立空间观念时，要借助实物操作。（2）在操作的过程中调动学生的多种感官，理解由几个相同长方体组合成新的长方体外露的面积发生的一系列变化。

【教学目标】

1、利用表面积等有关知识，探索多个相同的长方体叠放的方法以及使其表面积最小的优化策略，体验策略的多样化，发展优化思想。

2、通过动手操作、同伴交流，体会楞、面、体三者之间的关系，进一步发展学生的空间观念；培养学生思考问题、探究规律的能力，体验解决问题的基本过程，提高解决实际简单问题的能力。

3、通过解决包装中的相关问题，渗透节约意识，了解包装的学问在生活中的应用，感受数学与生活的密切联系，培养学生的数学素养，激发学习数学的兴趣。

【重点难点】

重点：通过操作、交流，感悟包装纸的大小与隐藏的面积之间的关系。

难点：多个相同的长方体叠放后使其表面积最小的最优策略的基本过程和方法。

【教具学具】

教具：课件。

学具：长方体学具。

【教学过程】

一、引入。

同学们都喜欢看动画故事吧，今天老师就给你们带了一段动画故事请看。

课件播放动画故事“买椟还珠”。

提问1：主人公为什么只要盒子不要珠子？

提问2：现实生活中你见到过哪些包装过的物品呢?

小结：从古到今都有包装，说明包装的问题很重要，今天我们就来研究包装中的学问。

板书课题：包装的学问。

【设计意图】借助动画片引入课题，既可以激起学生的学习热情提高学习兴趣，又能体现“大”综合的理念，多种学科之间的相互融合。

二、新授

（一）活动一：知识再现、做好铺垫。

1、情境：小明的爸爸是网购公司的业务员，主要负责销售儿童用品。我们来看看他今天接了哪些订单？

2、课件出示一盒儿童霜图。

提问1：要想包装这个盒子，包装纸的面积与这个盒子的什么有关系？

提问2：包装纸的面积与盒子的表面积有什么关系？

预设1：等于

引导：这是包装时接口处不计的情况下所需要的包装纸。

预设2：大于

小结：你们考虑得真全面。今天我们为了研究方便，接口处都忽略不计。

引导：如果我们把盒子较大的面叫做大面、较小的面叫做小面、另一个面叫做中面。我们能算出一个大面、中面、小面的面积吗？

生计算，师适时板书：

提问3：知道怎样求盒子的表面积吗？

【设计意图】此环节设计的意图主要是：1、复习有关表面积计算的知识。2、感知大、中、小面，为下一步有关节约包装纸的计算方法的优化做铺垫。

（二）活动二：自主探究，优化方案。

引导：同学们算出了包装这个盒子包装纸的面积是174平方厘米。小明的爸爸也没有闲着，刚包好第一盒，第二份订单就来了，请看：

1、课件出示第二张订单：两盒儿童霜。

提问1：两人结合摆一摆，看一看有几种包装方案？边摆边思考：哪种方案最节约包装纸？

生汇报、展示。

预设：大面重叠、中面重叠、小面重叠。

提问2：哪种方案最节约包装纸？

预设：大面重叠。

追问：为什么大面重叠就节约包装纸呢？

预设：重叠部分大。

引导：重叠部分大说明露在外面的面面积------

预设：露在外面的面积小。（板书外露的面积）

引导：怎样能说明其他两种方案真的不节约包装纸呢？有办法验证吗？

预设：计算验证。

生汇报结果及计算过程。

师择机提炼：表面积之和-重叠部分的面积=露在外面的面积

2、发挥想象，构建模型

组织引导：请你闭上眼睛，跟着老师的描述，在头脑中回忆。

（1）哪三种不同的包装方案它们分别是什么样子的。再在头脑中想象一下新长方体的长、宽、高。

（2）分别把它们重叠的面在脑子里闪一闪。

（3）最节约包装纸的方案在脑子里闪一闪，把重叠的面闪一闪（板书：重叠的面积）

（4）睁开眼睛看一看：表面积之和、重叠的面积、新的表面积三者之间有什么关系？表面积之和怎么样？（板书：不变）重叠部分越怎么样？（板书：越大）露在外面的面积会怎样变化？（板书：越小）

【设计意图】此环节是本节课的重点，其目的：一是让学生通过拼一拼、摆一摆，充分经历叠放的过程，直观感受拼摆方式的多样化。二是通过对比不同的方案，培养优化意识。三是经过观察、猜测、验证、思考，感知一般规律。四是经过观察、猜测、验证、思考，体会棱、面、体之间的关系，构建新的长方体模型，发展空间观念。

（三）活动三：动手实践，验证结论。

引导：一盒两盒同学们都拿下了，三盒包在一起会怎样呢？

提问1：三盒包在一起有几种不同的包装方案？

组织：三人结合用学具摆一摆，展示。（课件展示三种方案）

提问2：说说你认为哪种方案最节省包装纸?接口处不计。

预设：我认为大面重叠的最节约包装纸。

追问：为什么？

预设：这样包装露在外面的面积小。

追问：露在外面的面积小说明了哪一部分面积大？

预设：说明重叠部分面积大，露在外面的面积小，也就是最节省包装纸。

【设计意图】一方面让学生验证上一环节得出的规律，另一方面为学生设置一个引发冲突的“陷阱”，为下一环节的教学埋下伏笔。

（四）活动四：引发冲突、突破难点。

引导：同学们很会学以致用，用我们刚才的结论就能解决三个盒子的包装。小明爸爸的生意可是不错呀！这时又接到了新订单，我们一起来看看！

1、出示四盒订单。

提问1：4盒包装在一起怎样包装才能节约包装纸呢？摆一摆把你认为最节约的方案，摆好放在你的桌子上。

预设1：我们有4种包装方案，6个大面重叠、6个中面重叠、6个小面重叠和4中个面4个大面重叠。

提问2：你认为哪种包装方案最节省包装纸？

预设1：在这4种方案中我们认为6个大面重叠最节省包装纸。

预设2：我认为4个大面重叠，4个中面重叠是最节省包装纸的方案。

引导：你们的想法都不错，请你们说说看。

预设：xx重叠的部分是6个大面。我的方案重叠了4个大面、4个中面，4个大面相互抵消，相当于2个大面和4个中面比较，1个大面比2个中面小，所以我的最节约包装纸。

引导：同学们刚才不是都说大面重合最节省吗？怎么现在出现了这样的问题？让我们来看一看他表达的意思。

2、课件展示两种包装方案，帮助学生理解、得出结论。

3、计算验证。

小结：我们通过摆、拼、比较、计算证明了隐藏的面越大，露在外面的面就越小，也就最节约包装纸。

【设计意图】此环节是本节课的难点。预设学生会顺着先前的经验，直接得出6个大面重合的方案，在充分放手，动手操作，讨论交流，观察思考的基础上，学生会发现另一种方案，引起认知冲突，生生之间互相质疑，引发争论，在此时教师在应用课件直观展示或教具演示，化抽象为具体，有效突破难点。再次体验策略的多样性，感受解决问题的基本过程和方法，提高了解决问题的能力，同时也积累了数学活动的经验。

（五）、欣赏包装，回顾总结。

引导：刚才我们在研究包装的问题中是从哪方面考虑的？你能说说生活中的包装还需要考虑哪些因素吗？

课件播放包装图片，引导学生欣赏。

提问：欣赏完这些包装，你想说些什么？

师根据学生的回答，择机板书：美观实用、厉行节约。

总结：这节课我们学会了哪些知识？你得到什么启示?

【设计意图】不但让学生认识到生活中包装的不同需要，培养学生的美感，同时让学生感受“厉行节约”的理念在生活处处存在，起到“润物无声”的效果。

（六）、课堂延伸，学以致用

同学们母亲节快要到了，请你在给妈妈准备礼物的时候，用我们今天学的知识进行包装。

【设计意图】数学学习的最终目的是应用所学知识解决生活中的问题，及时利用所学知识解决自己遇到的问题，不仅是对知识的巩固，同时也让学生学会感恩。

板书设计

 

包装中的学问

 

重叠的面积

／    （越大）

表面积总和

（不变）   ＼    

新的表面积（包装纸）

                     （越小）

 

 美观实用                    厉行节约

 

【有待思考的问题】

1、 怎样从学生的基本经验中判断孩子的思维形式？

2、 怎样让综合实践的课堂更加充满活力。

 点评：

《包装的学问》一课的教学设计紧扣(新)数学课程标准中“综合与实践”的要求，从小明的爸爸是网购公司的客服，包装化妆品这一生活情景出发，依托学生的生活经验和已有的知识储备，探索多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最优策略。整个教学设计渗透了数学的优化思想，发展了学生的空间观念，学生在问题的引领下，多种感官协同参与，独立思考、合作交流、全员参与，有助于提高学生解决实际问题的能力，感受数学与实际生活的密切联系。教学中教师努力为学生营造一个宽松的学习环境，提供一个自由发挥的舞台，在学生产生认知冲突后，把探索的权利交给学生，把展示的空间让给学生，让学生带着问题进行小组探究，提高了小组活动的实效性。

一、动画引入课题，激发探究欲望

《数学课程标准》中明确指出：数学教学，要紧密联系学生实际，从已有的知识和生活经验出发，创设生动有趣的教学情境。刘老师通过孩子们最喜欢看的动画片从一开始就牢牢的抓住了学生的心弦，一下子拉近了数学和同学们的心理距离，有效地激发了学生的兴趣；更重要的是，通过买椟还珠这个故事来体现包装在生活中的必要性。  

    二、问题设计有层次，逐步提升探究深度

本节课，刘老师以小明爸爸包装化妆品为载体，以层层递进的订单情景贯穿始终，让学生在一次次解决问题的过程中体验学习的乐趣，享受帮助人带来的喜悦，极大程度的满足了学生的心理需求，从而由浅入深，引导探究。使学生整节课都能保持高涨的学习热情。

订单一：从包装一个化妆品盒子入手，让学生对求长方体表面积这一知识进行回忆，通过探讨知道求包装纸的大小（接口处不计）就是求化妆品盒子的表面积。

订单二：两盒化妆品盒的包装是本节课的教学的重点，也是三盒、四盒长方体化妆品盒子包装的一个“下线”，应该怎样包，有几种包法让学生通过小组合作摆一摆就能得出有几种包装方法；再让学生交流互动、观察、比较发现哪种方法最节省包装纸；最后让学生小组讨论，搞清包装方法不同所用的包装纸大小就不同。刘老师抓住关键问题，让学生明确怎样才能节约用纸，包装纸的面积大小与重叠面的面积大小与两个盒子的表面积大小有什么关系，即两个盒子重叠面面积越大，包装时所用的包装纸就越少这样一个一般规律。得出这个规律既是本节课的重点。在这个环节中教师不仅鼓励学生大胆猜想，勇于解疑，还注意训练学生思维的严密性和逻辑性，在猜想-质疑-验证的过程中体会到科学研究的一般方法，在回忆—想象的过程中发展了学生的空间观念。

    订单三：三个相同盒子组合包装的节约用纸问题。学生已有了两个盒子包装的经验，很容易就能解决这一问题，三个相同盒子组合包装节约用纸方案设计检验学生对上一环节知识的理解和掌握情况，也为下面四个盒子包装埋下“陷阱”。

在第四个订单中，包装４个盒子时，由于在摆放的过程中，因为四个相同盒子的组合包装怎样才能节约用纸，与两个、三个相同盒子的组合包装不同，不能只考虑重叠面的大小，还要结合实际包装灵活应用所学的知识选择优化节约包装的方案。但学生会受到两个、三个相同盒子组合包装节约用纸的思维定势影响，只考虑大面重叠就会节约用纸，这个问题的设计，会引发学生的思考对立,学生通过操作、对比、验证后发现，四个相同盒子的组合包装不是重叠了6个大面最节约,而是重叠了4个大面4个中面最节约。在这一活动中，当出现争议后，让学生带着问题进行小组交流，使小组合作真正的落到实处，避免留于形式。这个环节的设计就是想把学生综合应用知识解决实际问题的灵活性、探究问题优选方法的积极性推向高潮,充分体现综合与实践课的教学特色。通过这一环节的自主探究使学生对前面得出的结论有了更深一步的认识，破解了教学难点，水到渠成、顺理成章，使课堂达到了又一高潮。最后学生通过欣赏生活中常见物品的包装，理解了包装的多样性，不仅从节省包装纸考虑，还让学生认识到礼品包装的美观、便于携带等问题，这些都是属于包装的学问。

三、亲历探究过程，促进知识构建

在教学中，刘老师让学生用眼观察，动手操作，用心思考，大胆质疑，讨论争辩，在摆-看-想-算的过程中经历数学知识的形成过程。充分发挥学生的主体作用，让学生畅所欲言，动手实践，积极发表自己的想法，展示自己的探究成果，再加上适时的点拨引导，当学生能用所学数学知识解决生活中包装的问题时，成功的体验有了，学习的自信心增强了，数学活动的经验积累了。

总之，本节课学生的学习，因老师的设计符合学生需求，不止停留在浅层次，而是不断迎接着新的挑战。他们被数学自身的魅力所吸引，参与其中，乐在其中，教学目标的立体性得到了最大程度体现。