《植树问题》教学案例

延安慧泽小学课题组    高晓华

 

教学内容：人教版小学数学五年级上册“数学广角”。

教学目标：

知识与技能：使学生理解棵树与间隔数之间的关系，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。

过程与方法：让学生经历先猜想再动手画模拟栽树，最后寻找规律，归纳出一般方法。从中渗透简单的化归思想，数形结合、一一对应、推理等数学思想，从而帮助学生建立解决植树问题的模型。

情感态度与价值观：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生应用意识和解决实际问题能力。

教学重点：理解棵数与间隔数之间的关系，建立解决植树问题的模型。

教学难点：应用植树问题的模型解决一些生活中的实际问题。

教学设计理念：

无论是“植树问题”，还是“路灯问题”、“排队问题”、“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“车站问题”等等，都有着相同的数学结构，其本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。在实际教学中，要设法帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，帮助学生建构普遍的数学模式，以提升学生的思维水平。

教学过程：

一、谈话引入，认识间隔 

1.手指中的间隔。

今天，高老师要给咱们五五班的同学上一节数学课，既然是上数学课那就免不了要与数字打交道。请同学们伸出一只手，你看到了几？（齐：5）这是5个（手指头），5个手指之间有几个空隙？

师：像这样一小段一小段的的“空隙”，数学上称为“间隔”。（板书）追问（  ）个手指头之间有（   ）个间隔。你发现手指头的个数与间隔数有怎样的关系？（手指头个数=间隔数＋1）

2.座位中的间隔。

3.站队中的间隔问题。

师：我们在做操站队的时候，有没有间隔？如有10个同学站成一列，他们之间有几个间隔？如果每个间隔的长度都是2米，想想看，从第一个到最后一个总共长几米？（指名回答）

4.引入课题

师：看来，在这些间隔现象中确实存在一些数学问题，与间隔相关的问题，在数学上统称为“植树问题”，这节课就让我们一起来研究植树问题。(板书课题)师：好，我们就先来讲一件植树的事，请看大屏幕……

二、经历探究，发现规律  

利用画图与“一一对应”的方法研究植树问题的三种情况。

1，（投影例题）同学们在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。

师：请同学们想一想，在这条小路的一边栽树，你认为可以栽几棵比较合适？你觉得还可以栽几棵呢？谁还有不同的想法（指生说）

好，请同学们用画图的方法把你头脑中的想法表示出来。

2.展示汇报。

（哪位同学来给大家展示一下，把你的栽法给大家介绍一下？）

a.  栽5棵      b.栽4棵    c.栽3棵

（请3名同学分别将各自的种法画在黑板上。）

3.对比分析，寻找规律。

（1）请同学们看一看，这三种情况，它们有什么不同的地方吗？

（头上和尾上都栽）两端都栽、只栽一端、两端都不栽（板书）

（2）刚才是用图来表示的，你们能用算式表示出这三种情况吗？

用“路的长度÷间隔长度”表示什么呢？

（3）每种情况中，棵树与间隔数有怎样的关系？

师：能看出来吗？利用“一一对应”的方法分析。（随机板书）

刚才我们研究出三种情况，在生活中实际种树的过程中，会不会出现这些情况呢？什么情况下只栽一端或两端都不栽？（指名说）

【设计意图：通过让学生设计在20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵的植树方案这样一个探究活动，让学生经历先猜想再动手画模拟栽树，最后寻找规律，归纳出一般方法。从中渗透简单的化归思想，数形结合、一一对应、推理等数学思想，从而帮助学生建立解决植树问题的模型。】

三、利用模型，解决问题。

师：同学们不仅会观察，还能发现其中的规律，下面我们就运用规律来解决一个植树问题。

园林队沿500米长的小路一侧植树，（两端都不种），每隔10米种一棵，一共种了多少棵？

（1）要解决这个问题，需要注意什么？

（2）独立解答，分析解题步骤。（指名汇报）

a:  500÷10算的是什么？段数（间隔数），怎样算间隔数？

板书：总长度÷间隔长度=间隔数

b: 求树的棵树为什么要“－1”呢？如果是两端都种呢？能种几棵？只栽一端呢？

（3）如果是在这条小路的两旁栽树呢？又该怎么算？

小结：不管遇到的是哪种情况，都要先求出有几段（间隔数）。如果是两端都栽，棵树=间隔数＋1；如果是只栽一端，棵树=间隔数；如果是两段都不栽，棵树=间隔数－1

四、回归生活，拓展延伸。 

想一想，生活中还有什么事情跟植树这样的问题类似，……下面就让我们一起来解决生活中的“植树问题”。    五线谱  纽扣  锯木头等

或：在我们的生活中还有很多类似植树问题的现象

摆花、路灯，爬楼，锯木头、车站 、挂灯笼、插彩旗、栏杆……

1摆花

学校操场边有9棵树排成一行。如果每两棵树中间摆一盆花，一共要摆（    ）盆花。 

2路灯

一条马路的一边一共安装了15盏路灯（两头都装了），相邻两个路灯之间的距离是20米，这条小路长（     ）米。

A.20×15=300    B.（15－1）×20=280   C.（15＋1）×20=320

3爬楼

学校教学楼每层楼梯都有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶。老师走到了第几层？

4锯木头

一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要多少分钟？

5车站

5路公共汽车行驶路线全程12km,相邻两站之间的路程都是1km。一共要设多少个车站？

 

思考：若起点站与终点站都在同一个位置呢？此时就会形成一个封闭图形，在这种情况下，需要设多少个车站呢？想想看，它属于“植树问题”的哪种情况呢？

 

生活中还有哪些类似于植树问题的现象呢？请同学们带着这些思考，课后继续去研究。