《找次品》教学设计

济源市河苑街小学  范小枫

【教学目标】

1.通过观察、猜测、实验、推理等活动，理解“找次品”问题的基本原理，探索解决问题的策略，渗透优化思想，体会解决问题策略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。

2．能利用图形、符号、语言表述等多种表征清晰、简明地表示数学思维过程，培养学生逻辑思维能力。

3．以解决“找次品”问题为载体，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

【教学重点】

体会解决问题策略的多样性，感悟解决问题的优化策略。

【教学难点】

能利用图形、符号、语言表述等多种表征清晰、简明地表示数学思维过程。【教学准备】 

多媒体课件、天平、若干个乒乓球、每人3个小圆片、研究记录单。

【教学过程】

课前交流：比尔盖茨（微软），老子（三生万物）

（一）故事导入，提出问题

1.小故事：一枚 O 型环引发的悲剧

    1986 年 1 月 28 日 , 美国第二架航天飞机“挑战者”号在进行第10次飞行时，从发射架上升空 73 秒后爆炸解体，7 名宇航员殉职，价值12亿美元的航天飞机化为碎片，坠入大西洋。造成世界航天史上最沉重的悲剧。   

    事故调查表明，此次事故的根源来自一个不起眼的橡胶部件——O 型环。由于发射时气温过低，这个质量不合格的O 型环失去了弹性，使固体火箭助推器内的高压高热气体泄漏，最终导致高速飞行的航天飞机在高空解体。

2. 出示问题：

（微软公司招聘面试题）假设81个乒乓球中只有一个球稍重，如果只利用没有砝码的天平，最少几次才能找到稍重的球？

（1）如果把这81个乒乓球交给你，你会怎么找到这个稍重一些的球？独立思考1分钟，说想法。

*预设：用手掂一掂（如果两个物体的差异很大、很明显，可以用掂一掂的方法。但差异很少，很难掂不出来）

拆开数一数（如果拆开，手帕纸包装被破坏，没法卖了，不方便）

用秤称一称（一张手帕纸大约1g左右，太轻，一般的秤称不出来）

（2）理解“只利用没有砝码的天平”

介绍天平：天平是一种衡器，是衡量物体质量的仪器。它是依据杠杆原理制成，在杠杆的两端各有一小盘，一端放砝码，另一端放要称的物体，杠杆中央装有指针，两端平衡时，两端的质量(重量)相等。

回忆天平在方程中的应用：学习等式基本性质和解方程时，我们用过天平，在数学中主要用来表示平衡，一般用的是没有砝码的天平。

（3）引入“次品”。

【设计意图：理解问题是分析问题和解决问题的前提，第一，当学生面对实际问题，首先想到的肯定是数一数、掂一掂，因为他们缺少使用天平的生活经验，所以首先让他们了解“数”和“掂”的局限性，再引入天平，初步感受平衡，为后续研究做好准备。】

（二）化繁为简，初步感知

从81个球中找出一个次品，比较复杂，那么我们可以怎么研究呢？

（回忆“鸡兔同笼”、“指数问题”、“探索图形”等问题的研究经验：化繁为简）

1. 研究2个球的情况：

（1） 演示操作

（2） 画图表示：用“”上加一条短横线表示天平，用长方形表示手帕纸。

（3） 结论：2个球，称1次可以保证找出次品。

2. 研究3个球的情况：

（1） 猜想：

（2） 演示操作

（3） 画图表示

（4） 结论：3个球，至少称1次可以保证找出次品。

（5） 思考：为什么2个球称1次，3个球还是称1次？

（6） 小结：由于天平有两个托盘，2个时平均分2组每边各放1个，3个时

平均分3组，天平上每边放1组，天平外还剩1组，都是只称1次即可。

2个和3个虽然数量不同，但都是至少称1次就可以保证找出次品。

【设计意图：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。化繁为简，先以2个、3个待测物品为起点，降低了学生思考的难度，能较顺利地完成初步的逻辑推理，只有在此基础上理清 “找次品”的思路，才能保证后面的探究、推理活动顺利进行。在研究工程中根据天平的情况推断出剩下1包的情况，是解决“找次品”问题的关键，先将实验演示和语言表达结合起来，帮助学生初步理解原理，然后用图示法表示，图示是对问题进行抽象、概括的一种方式，通过图示使找次品的方法具有概括性，同时也可以培养学生的抽象思维能力。初步感知后及时进行方法的总结，可以分散本课的难点，有利于学生发现解决“找次品”问题的最优策略。】 

（三）探索规律，优化策略

1．探究8个球的情况 

（1）提出问题：

8个球里有1个是次品（次品轻一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？

（2）大胆猜测：

学生：如果运气好一次就能找到次品，所以至少一次。

学生：一次不能保证找出次品，因为如果运气不好，就找不到次品了。

学生：每次称2个，4次保证找出次品。

（3）理解题意

教师：“至少称几次能保证找出次品”是什么意思？

学生：既要保证找出次品，又要次数最少。

【设计意图：在称量中会有多种多样的方法，代表着不同的解决方案，首先每种方案都能确保把次品找出来，但这些方案中能不能找到一种最优方案？这种方案有什么特点？帮助学生理解“至少”和“保证找出”就是从多样化到优化的关键。学生第一次遇到这类问题，往往不能兼顾两端，说“1次”的同学忽视了“保证”，说“4次”的同学没有考虑到至少。通过同学间的互相交流，否定错误，澄清认识，确定研究方向，在探究、解决问题的过程中不走错路，少走弯路，有利于课堂教学目标的达成。】

（4）独立尝试，小组交流，探索规律

明确操作要求：尝试独立画图思考；组内交流，组长记录。

   填写研究记录单：

	分的组数	每组的数量	至少要称的次数	在次数最少的后面画“√”
方法一
方法二
方法三
方法四
方法五

    观察记录单，你发现了什么？

（7） 汇报交流，对比观察，总结规律

8个球分成3组（3,3,2），其中有2组同样多，至少称2次就可以保证找出次品。

【设计意图：在这一环节中，让学生动手动脑，亲身经历分、称、想的全过程，从不同的方法中体验解决问题策略的多样性。为了便于学生操作和节省时间，所以让学生用学具模拟天平实验来进行实践探究。图示法较为抽象，对学生来说不容易理解，在这里只是让学生初步感知，教师根据学生的回答同步板书，便于学生理解每项数据、每种符号的含义，为后面的学习打下基础。】

2．探究9个球的情况 

（1）提出问题：如果是9个球呢？

（2）大胆猜测：分3组，每组3个，至少2次。

（3）画图验证：用画图法表达自己的思考过程。

（4）交流评价：还有更好的分法得到更少的次数吗？

（5）总结规律：9个球平均分成3组，至少称2次就可以保证找出次品。

【设计意图：这一环节是本节课的重点也是难点，学生通过思考、分析，结合操作，尝试用图示法记录找次品过程，是完成由具体到抽象过渡中的重要一步。让学生在交流、对比中探索最简的方法，经历学习、发现和探索的过程。】

（四）运用策略，验证推广

1.研究10个球的情况：独立画图解决，全班展示交流

   10个球分成3组（3,3,4）或（4,4,2），至少称3次就可以保证找出次品。

2.研究27个球的情况：独立画图解决，全班展示交流

   27个球平均分成3组，至少称3次就可以保证找出次品。

3. 那81个呢？

81和我们前面解决的3,9,27之间有什么关系？

3，3×3=9，3×3×3=27，3×3×3×3=81……

【设计意图：一是进一步借助抽象的直观图示验证和应用发现的规律，初步学

会数学地思维。二是体会转化思想，大数据情形下可以经过平均分转化为小数据的情形，再直接运用前已有的结论。三是81个和课前问题相呼应，前后次数的强烈反差，让学生不由地产生一种惊讶、一种感叹、一种心灵的震撼，在这种惊讶、感叹和震撼中学生会深深地感受到数学的价值，喜爱数学的情感油然而生。】

（五）总结提升，拓展延伸

1. 总结方法：

（1）在找次品的过程中，首先需要将物品分成3组，是为了每次尽量将次品所在的数量限制到最小的范围内，称一次可以判断次品在两个托盘和托盘外这三个位置中的一个；

（2）根据最不利的原则， 3组的数量要尽量相等，如果不能平均分，最多与最少相差1个即可，这样才能把次品限制在更小的范围内，使得所用的次数最少。

尽量平均分成3组

2. 出示114页表格：

要辨别的物品数目	保证能找到次品至少需要测的次数
2 ~ 3	1
4 ~ 9	2
10~27	3
28~81	4
	5
……	……

3.如果称5次，最多能从多少个物品中找到次品呢？（补全表格）

那300个需要称几次呢？（6次）6次最多能从多少个物品中找到次品呢？

10次最多能从多少个物品中找到次品呢？这个问题留给大家课后思考！

最后送大家两个词：化繁为简（转化）、优化意识（统筹）

【设计意图：第一，通过总结归纳，将找次品问题升华为最优化问题，让学生

深刻感受到数学思想方法的价值；第二，转换角度，从给定次数推断出被测物品最多的数量，正反两方面的推理，有助于学生更好地理解“找次品”的最优方案；第三，通过对规律的总结归纳，形成解决“找次品问题”的一般模型和方法。】