第16课时  研学案： 二次函数的综合应用（一）

——最值问题 

一、 综合分析

1、 学情：通过上学期的学习，学生对此类问题已有初步认识，方法已会初

步模仿，但还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足

而设计的目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题

的能力，总结解决最值问题的略，并建立培养函数思想以及数形结合思想。

2、背景： 面积最值（安徽中考2015年、2016年第22题）

利润最值（安徽中考2017年、2018年第22题）

3、题型：解答题为主，是拿高分的关键。

二、研学目标

1、会运用二次函数知识解决现实生活中的利润问题； 

2、会运用几何知识求解析式，会建立函数模型，能运用函数的性质求解； 

三、研学重难点

重点：通过实际问题建立函数模型，利用二次函数知识确定最值；

难点：二次函数与几何图形的综合应用及求几何图形面积的方法；

四、教学思想：教会学生学前预习，学习时能提出问题，课后能反思；

不迎合，有深度，学生学后能提高思考问题的深度。

五、课程资源：整合复习资料，制作研学案

六、教学方法与工具：研究学习、学习研究、启发与讨论，多媒体

七、研学过程

（一）研学必备

1、二次函数的解析式： （1）一般式：             ；

（2）顶点式：                

2、看式子（结合图像2）说性质（开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值）：

（1）y＝-x²+2x+3                （2）y＝-x²+2x+3（0≤x ≤ 3）

（3）y＝-x²+2x+3（0≤x ≤ 0.5）     （4）y＝-x²+2x+3（2≤x ≤ 3）  

提示：转化为顶点式或画出大致图像（图2）帮助解答

3、研学思考：二次函数一定在顶点处取最值吗？

 

4、知识链接：二次函数的综合应用——最值问题                               

（二）研学一：销售问题中的最值问题

例1：某件商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元,每周可卖

出150件，市场调查反映，若每件的售价每涨1元（每件售价不可以高于45

元），那么每周少卖出10件，设每件涨价x元（X为非负整数），每周的销

量为y件，（1）求y与x的函数关系及自变量x的取值范围；

（2）如何让每周的利润最大且销量较大？每周的最大利润是多少？  

研究，小组合作，列式解答
小组合作解答过程（研）	课后规范解答过程(学)
（附贴签）	（附贴签）
问题（组长汇总）：
收获：

（三）研学二：图形面积中的最值问题

例2：（2016安徽中考）如图3，二次函数y=ax²+bx的图象经

过点A（2，4）与B（6，0）．

（1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标

为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标

x的函数表达式，并求S的最大值．  

师分析要点，思想方法（学习）	课后完善过程（再研究）

（四）〖当堂检测〗

1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，  

每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每

月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．

(1)试求y与x之间的函数关系式；

(2)不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利

润w最大？每月的最大毛利润是多少？

 

 

 

 

2、如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，10/3）三点，设

点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角

线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数

关系式，并求出面积S的最大值？

                                           

五、研学小结：

             

六、 研学作业：

1、（课后）二次函数的应用课时作业（“掌控中考”42页——45页）。

2、（预习）课后结合思考题讨论在“二次函数与几何图形的综合应用”

中关于线段的和最短及线段的差最大的问题的求解策略。

 

3、思考题：

如图，抛物线y=ax²-5ax+4（a＜0）经过ABC的三个顶点，已知

BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC 。

（1） 求抛物线的解析式

（2） 在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MA+MB最短？是否存在

点P，使|PA-PB|最大？若存在求出点M、P，若不存在，请说明理由。

                                                                               

 

 

 

 

 

七、板书设计：

 

 

 

 

 

八、 教学评析：

本节课设计目的是利用二次函数性质解决两类常见的最值问题;引导学

生构建函数模型把实际问题转化为数学问题的思想是重点，难点是突破解决

问题的策略。本节课我本着真实的理念努力体现，但在过程中也有不少缺憾，

如：选例方面是不是更关注基础，练习还应尽量斟酌，让每个学生都能体会

出学习的快乐等等。