运用类比方法，做好方程到不等式的迁移

汉滨区江北高中东校区  张永军

类比是解决数学问题的重要方法之一，是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。

方程和不等式之间具有密切的联系，存在许多可以类比的内容。教学中，运用类比方法，可以充分发挥心理学中正向迁移的积极作用，借助学生对方程的已有认识，逐步迁移到对不等式的认识。笔者将从模型思想、概念性质、解题步骤、解决问题等方面，浅谈如何运用类比方法，做好方程到不等式的迁移。

一、模型思想的类比迁移

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，模型思想建立的过程都是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用方程、不等式表示数学问题中的数量关系。

课标对方程和不等式的要求分别是：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。”“能根据具体问题中的数量关系列出不等式，体会不等式是刻画现实世界不等关系的一种有效数学模型。”类比二者的课标要求，可以发现它们之间有许多相同或相似之处，都要求学生经历把实际问题抽象为方程或不等式的过程，都要体会方程和不等式是刻画现实世界的有效模型。教学中，从不等式概念的认识，到性质的推理，再到不等式的解法，都可以类比方程的概念、性质、解法进行，既要注重方程与不等式之间的横向联系，又要突出不等式的特点。

二、数学概念的类比迁移

数学概念的理解是解题的前提，教学中要求学生能从具体实例中辨认或举例说明概念的有关特征，还能说明相关概念之间的联系与区别。根据教材的编排，不等式教学中概念的引入、展开、说明都应注意类比方程的概念，达到“温故而知新”的教学效果。

例如教学“不等式的解”概念时，教材这样说明：“与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。”又比如教学“一元一次不等式”概念时，教材的说明是：“类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。” 像这样的说明还有一元一次不等式组的概念等等。类比方程有关概念的目的就是让学生经历联想、比较的思维过程，从学生的最近发展区出发，激起学生已有的生活经验和认知基础，加深对不等式概念的认识。

 三、性质法则的类比迁移

数学中的性质、定理、法则是解题的依据，理解性质、法则需要学生经历观察、实验、猜想、验证的过程。学习不等式的性质，我们可以先复习等式的性质：“等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等”“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。”在复习的同时，追问学生：“不等式是否也有类似的性质呢？”引发学生的认知冲突和探究兴趣，然后出示探究提纲，让学生思考，总结规律，得出不等式的3个性质：“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变”“不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。”通过类比等式性质和不等式性质的异同点，有益于学生对不等式性质的理解和掌握，再通过类比不等式性质2和性质3的不同点，有利于突破本课的难点，即同时乘或除以负数时不等号的方向要改变，这是学生容易失误的地方。

四、解题步骤的类比迁移

应用数学概念、性质和方法解决问题是数学教学的落脚点，也是应用意识的具体表现。解一元一次不等式时，既要注意引导类比解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，又要让学生注意解法不同的地方，不等式在去分母、系数化为1时，有可能会出现性质3“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”的情况。教学中可以用对比的方式进行，例如：

解方程=       解不等式  ≥

解：去分母，得           解：去分母，得

3(2+x)=2(2x-1)             3(2+x)≥2(2x-1)

去括号，得                去括号，得

6+3x=4x-2                  6+3x≥4x-2

移项，得                  移项，得

3x-4x=-2-6                 3x-4x≥-2-6

   合并同类项，得             合并同类项，得

   -x=-8                       -x≥-8

   系数化为1，得             系数化为1，得

X=8                       x≤8

通过比较，学生能实地感受到方程与不等式解题步骤的相同和相似之处，又注意了不等号变化的细微差别，在解题中渗透类比、比较的数学方法。

五、解决问题的类比迁移

培养学生综合应用有关知识和方法解决实际问题是数学教学的目标要求，通过学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、解决问题的过程，积累学生的活动经验，提高学生分析、解决实际问题的能力。类比方程解决实际问题的过程，直接迁移得到不等式解决实际问题的过程是：分析数量关系（包含不等关系）——设未知数——列不等式——解不等式——检验结果——实际问题的答案。在分析不等式的数量关系和不等关系时，要抓住“至少、最多、之前、超过、不到、大于”等关键词来设未知数和列不等式。

例如，长跑比赛中，小明跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的小康需要以多快的速度同时开始冲刺，才能够在小明之前到达终点？这道题是学生常见的行程问题，方程中常常求解的问题是同时到达，应用路程=速度×时间的关系式，在类比方程的等量关系后，学生很容易得出本题的不等关系，小明的冲刺时间×小康的冲刺速度＞110m，由此设小康的冲刺速度是xm/s，由题意列不等式x＞110，解得x＞4.4.

综上所述，通过类比，把方程的概念、性质、步骤、思想等学习认知的方法，迁移到不等式的认识、理解、掌握、运用中去，既能深化方程与不等式之间的联系，又有助于沥青二者的区别，对于提高学生领悟数学思想方法、提高解题能力都有很大的作用。