张宏伟 全景式数学

5的分合该不该包括5和0？

——全景式数学教育的“全景组成观”

每次执教《5的组成》这节公开课（见公众号上一篇实录）后，都有老师和我交流这个问题：“5的分合该不该包括‘5可以分成0和5’？”

我的回应简述如下：

1.我认为包括不包括都对。它取决于你对分合的理解，以及对后继问题的处理。

在现行教材中，包括0和不包括0，这两种情况都有的。我曾为此查阅了浙教、苏教、北京、青岛、人教和北师大六种版本的教材。前五种不含0。北师大版1-5不再研究分与合，而是融入加减法的认识和计算之中。6-10的分与合也是加减法结合在一起的，不同的是：从6开始，有了专门研究分与合的例题，如图（2013年7月版，第36页）：

它的分与合，包括了0和6本身，后续7、8、9、10的分合也都包括了0和它本身。

2.我在充分研究六种版本教材的编排思路后，经过反复斟酌，决定还是借鉴北师大版的编排方式，引入5可以分成0和5。理由如下：

（1）数学知识的产生和发展，外缘于生活的需要，内源于数学本身的发展。学习的目的亦是如此。那么，数的分与合的目的是什么？其核心目标当然是后续的10以内和20以内的加法计算和减法计算。数的分合既是数学本身的需要（计算的封闭性），也有很多日常生活的“原型”。

计算方面：学生本册的后半学期，在自然数范围内要对“5是哪两个数的和，即□ □=5”做出完整的思考和完全解答，其中必然要涉及0与5的问题。

“5分成0和5”是理解5 0、5-0 和5-5 的意义和计算算理的基础。“一数能分成0和它本身”的引入能使相应内容的数学学习更具有整体性和完整性。

现实原型：本节课5个花生米，推入“裤子洞洞”就是这种。生活中，这种原型比比皆是：比如用5个环套圈，打5个气球，5个小狗在窝里窝外等等，不胜枚举。

（2）不能把数的分合完全等同于生活中的分配实际物体，即数学不全等生活。

在我做了以上解释之后，还有老师依然坚持认为：把5个苹果放在2个盘子里（这句话的本意就是两个盘子都必须要放苹果），如果出现5可以分成0和5，那其实没完成把5个苹果放到两个盘子的要求。

我认为这个问题该这样理解：

我们的教学目标决定了情境和素材的选择，而不是为了情境而选择目标。

如果你认可包含5和0，那么我们要选择的一定是列举的诸如“5个小狗在窝里窝外各几个”这样的原型。如果你不认可包含0，你的目标就是认识其他分与合，类似“5个苹果放在2个盘子里（两个盘子都必须放）”的原型可能就是你该选择的最佳情境。

事实上很多教材并没有添加诸如“两个盘子都必须放”的备注，而实际生活中，也确实存在2人分具体的物体，其中一人一个也得不到的情形。我在多年的教学实践和听课中发现，每次教学数的分与合，都会有学生提出0和这个数的本身组合现象。每到此时，执教的老师处境都比较尴尬，不能说是学生错了，又不想让学生得出5可以分成0和5的结论，于是只能去一再强调“两个盘子都必须放”诸如此类限制，强行把“走扯”的学生再牵回来。比如此题就是：

（北京版教科书2004年6月版第37页）

我们知道后续学习0的加减法，还是要讲到“5和0合起来仍然是5”，为什么不在学习分与合时就解决了呢？

以上所述只是我个人当下的一点看法，不当之处，还请批评指正，一起探讨。