21点简单概率计算

不久前我偶然在网上看到一篇题为《21点：赌场里最可能赢钱的游戏》的文章。该文讲述了关于21点赌博游戏的一些策略和概率计算的问题。抱着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的觉悟，我决定自己动手计算一下21点的概率问题。

21点使用的是除去大小王后的52张扑克牌，一般用到1-8副牌。为了计算的方便，假设共有无数副牌用于游戏，如此，从牌堆中翻出下一张牌的点数与已知的牌的点数无关。

由于庄家的策略（已有点数和小于17点则拿一张牌）是固定的，所以先对庄家的策略进行计算。庄家有一张明牌是已知的，若知道从已有明牌得到庄家最终点数的概率，然后再算出玩家最终点数的概率，通过比较就可以得到玩家获胜的概率。

假设庄家明牌点数为2，则庄家两张牌点数和为5（另一张牌为3）的概率为1/13=7.69%。由此可以得到庄家已有明牌到所有可能的两张牌点数和的概率:

http://s3/mw690/006foAwszy7h0ehG23042&690
表1，庄家明牌点数到庄家起始两张牌点数和的概率

设庄家起始两张牌点数和为X,庄家最终点数和为Y(Y的值可能为17、18、19、20、21、爆)，F(X-Y)表示庄家起始两张牌点数和为X，而最终点数和为Y的概率。

若庄家起始两张牌的点数和为17、18、19、20、21，则庄家不再要牌，最终点数和分别为17、18、19、20、21。则F(17-17)=100%，F（18-18）=100%，……

若庄家起始两张牌的点数和为16，则庄家要一张牌,结果可能为17、18、19、20、21、爆。则F(16-17)=1/13，F(16-18)=1/13，F(16-19)=1/13，F(16-20)=1/13，F(16-21)=1/13，F(16-爆)=8/13。

再考虑F(15-17)呢。从15开始拿牌可能有1/13的概率摸到A或2，只有这样最终结果才可能是17。这样就转化为F(15-17)=1/13*F(16-17)+1/13。

以此类推可以得到初始值X为14、13、12、……的时候到各种结果的概率。当然，这中间需要注意A可以作为1点也可以作为11点，因此在类推的过程中需要注意很多细节的地方，在此不作赘述。下表即为庄家已有点数到庄家最终点数和的概率：

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表2，庄家已有点数和到庄家最终点数和的概率

 将上述两表中的结果看作概率矩阵，通过转置后相乘即可得到已知庄家明牌点数到庄家最终结果的概率。如下表所示：

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表3，庄家明牌的点数到庄家最终点数和的概率

算完庄家的概率，我们就可以来考虑玩家的策略了。当玩家点数和小于12时，恒定要牌；玩家点数等于21时，绝对不会再要牌。所以只考虑玩家点数和在12~20之间的情况。

首先，容易得出玩家已有点数和到要一张牌后点数和的概率，如下表：

http://s11/mw690/006foAwszy7h0epmKIW3a&690
表4，玩家当前点数和到玩家要一张牌后点数和的概率

 玩家胜利的条件为玩家不爆，点数大于庄家，或者玩家不爆庄家爆。则通过上面这张概率表和之前计算的庄家明牌点数到最终点数和的概率，可以计算出玩家要一张牌后胜利的概率，如下表：

http://s6/mw690/006foAwszy7h0eqLl6Bd5&690
表5，玩家要一张牌后获胜的概率

同样地，可以算出玩家不再要牌获胜的概率，如下表：

http://s8/mw690/006foAwszy7h0esivHhe7&690
表6，玩家不再要牌获胜的概率

通过比较表5、表6中的值，可以得出各种情况下玩家的是否应该要牌。

http://s5/mw690/006foAwszy7h0etFxhq04&690
表7，已知庄家明牌点数和玩家已有点数和时的策略

通过比较自己计算的策略矩阵和《21点：赌场里最可能赢钱的游戏》这篇文章中的提供的策略矩阵，自己计算的只是纯粹的概率，还没有考虑赌注的问题。21点这个游戏要想赢钱很重要就是在有利于自己的时机加大赌注，在不利于自己的时候减小赌注甚至停手。通过表5、表6可以看出，出现一盘玩家获胜概率超过50的机会很少。获胜概率要想超过50%需要玩家的点数和在18点以上，这就需要玩家要不有运气起始两张牌点数和就在18点，要不有运气在要牌的过程不会爆掉。但是我们看到，即使是点数只有12-17点，很多情况下我们的最佳策略也是不要牌等待庄家爆掉（庄家爆掉的概率也许只有30%—40%），而不是冒险要牌冲到18点以上。

在本文中，我只计算了要牌或不要牌两种策略，不包括double hit、double stand、split以及insurance等策略。另外，在现实的赌局中，还有所谓“算牌”来提升赢面的方法。由于能力有限，对上述情况目前未能进行准确计算。