《利用导数研究函数的单调性》简案

一．教学目标

（一）知识与技能

1．导数与函数单调性的关系   

2．利用导数求函数单调区间的方法

3. 含参数函数单调性的讨论

（二）过程与方法

1. 会利用导数求函数的单调区间

2. 会讨论简单含参数函数单调性问题

（三）情感态度与价值观

1.  培养学生分类讨论数学思想

2． 使学生认识到新知识的学习，会为我们解决实际问题带来方便，   激发学生的学习兴趣和求知欲望

二．教学重、难点

重点：1．导数与函数单调性的关系   

      2．利用导数求函数单调区间的方法

难点：含参数函数单调性的讨论

三．教学方法

   自主探究、启发引导式

四．教学过程

1.复习导数与函数单调性的关系:

　若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导；

　  如果f(x)>0, 则f(x)在(a,b)上为增函数；

　  如果f(x)<0, 则f(x)在(a,b)上为减函数；

2.求函数单调区间的步骤：

  (1).确定函数f(x)的定义域.

  (2).求出函数的导数f(x).

  (3).解不等式f(x)>0,得函数单增区间.

      解不等式f(x)<0,得函数单减区间.

3.例题解析

  讨论下列函数的单调性

（1）函数;(不含参数， 学生板演，热身训练)

（2）函数

     (含参数可因式分解，老师引导学生对参数进行分类讨论，由学        板演完成)

 (3) 函数其中a为常数.

(含参数不能进行因式分解，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论，师生共同完成)

解析:(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}

令f(x)>0，则0;   令f(x)<0，则x>;

所以f(x)的单调递增区间为（0），单调递减区间为（，+）

（2）函数f(x)的定义域为{x|x>0}

当时，，f(x)的单调递增区间为(0,),(2,+)，单调递减区间为（，2）；

当时，，f(x)的单调递增区间为（0，+）

当时，，f(x)的单调递增区间为（0,2），（，+），

单调递减区间为（2，）；

（3） 函数  的定义域为.

         

  当    ，函数在上单调递增

当时，令

由于

当时，

，函数在上单调递减

时，，

，函数在上单调递减

当时，

设 是函数的两个零点

则，

由

所以 时，，，函数单调递减;

     时， ，函数单调递增;

     时，，函数单调递减.

五.小结

（1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定                             义域的限制；

（2）利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；

（3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；

（4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对        应方程的判别式进行分类讨论.

六．课堂练习

（1）已知函数（a>0），求函数的单调区间.

（2）已知函数,讨论函数的单调性 .

七．课后作业

  讨论函数的单调性

八．课后反思

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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