《二次函数中的面积问题》教学设计

一、教学目标

1、能够根据抛物线中不同图形的特点选择合适的方法求图形的面积，会根据三角形的面积求出点的坐标；

2、了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会转化思想、方程思想和数形结合思想的应用；

3、由浅入深，消除学生的畏难情绪，积极参与教学活动，加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力.

二、重点难点

教学重点：选择合适的方法求图形的面积，会根据面积求点的坐标

教学难点：割补法求图形的面积

三、教学过程

问题背景 如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点P为抛物线的顶点.

问题1 你能求出哪些点的坐标?

生：点A、点B、点C、点P.

师：好，请在学习单上图1的右边写一下过程，完成的同学举手示意我.

在大部分学生完成解答后，由学生说解题思路.

师：有哪位同学愿意与大家分享一下你的解题思路？

师：你先求哪个点的坐标？

生1：我先求点C的坐标.

师：怎么求？

生1：点C是抛物线与轴的交点，当时，，所以点C的坐标为.

师：很好！接着你求哪个点的坐标？

生1：点A和点B的坐标.

师：这又该怎么求？

生1：因为点A和点B是抛物线与轴的交点，当时，得到方程，解得，所以点A的坐标为，点B的坐标为.

师：非常好！请你再说一下如何求点P的坐标？

生1：因为点P是抛物线的顶点，根据顶点坐标的公式，求得点P的坐标为.

师：太棒了！掌声鼓励.

师：从四个点中任意选取三个点围成三角形，你会求它们的面积吗？

问题2 求

师：根据三角形面积公式底乘高除以2，要求三角形的面积，只要找到底和高，观察ABC，以哪一条边为底，对应的高又是哪一条？

生：以AB为底，高就是OC

师：非常好，求一下ABC的面积

生2：

师：你会求，吗？

生3：

生4：

小结：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

当围成的三角形有一条边在坐标轴上时，通常以坐标轴上的边为底

问题3 过点作直线m，交抛物线于点E，F，求

师：在OEF中，以哪一条边为底？对应的高又是哪一条？

生：以EF为底，高是OD

师：很好，那么EF和OD的长度又该怎么求呢？先思考一下

生5：根据点D的坐标可知，OD=2

师：你是怎么求EF的长度？

生5：把代入二次函数的表达式中解得，就能求得EF的长度

师：你能否解释一下，为什么“把代入二次函数的表达式中”?

生5：因为E，F是过点且与x轴平行的直线m上的点，所以E，F的纵坐标都为-2，又因为E，F在抛物线上，所以满足二次函数的表达式，得到一元二次方程

师：简直太棒了!我来叙述一遍刚刚胡同学的解释：直线m过点且与x轴平行，可知直线m上的每一个点的纵坐标都是-2，而点E，F又在抛物线上，所以满足二次函数的表达式，从而得到一元二次方程，解得，即点E，F的横坐标，再根据两点间的距离，求得EF的长度，最后求得OEF的面积，大家掌声送给刚刚胡同学

师：胡同学，分享完了解题思路，现在你来说说解题过程我来书写

生5：由已知可得

整理，得

配方，得

解得 ，

师：完美，再次掌声送给胡同学

小结：当围成的三角形有一条边与坐标轴平行时，通常以这条边为底

 

师：当围城的三角形的三边均不在坐标轴上，也不与坐标轴平行时，无法直接求出三角形的底和高，又该如何求三角形的面积呢？

问题4 饶点旋转直线m，若E，F的坐标分别为，，

如何求？

 

生：把OEF拆成两个三角形

师：我好像听到有同学说把OEF分割成两个三角形，哪位同学愿意来讲一讲你的解题思路？

生6：把OEF分割成ODE和ODF，ODE和ODF都有一条边在y轴上，,

，，

师：目前来说，抛物线上围城的三角形的面积我们已经没有难度了，那围城的四边形的面积呢，你会求吗？

问题5 求四边形ACPB的面积

师：有哪位同学愿意尝试一下？

生7：连结BC，把四边形ACPB分割成ABC和BCP

师：很好，我们一起来看一下这样的分割能不能求出

四边形ACPB的面积.ABC没有问题，可BCP呢？

似乎有一点点难度了，还有没有其它分割方法？

生8：连结OP，把四边形ACPB分割成AOC、OCP和OPB

师：还有没有不同的分割方法？

生7：过点P作x轴的垂线，把四边形ACPB分割成AOC、梯形OCPD和DPB

师：很好，之前的分割无法求解的时候，去尝试另一种分割法

蒋同学，现在你会求BCP的面积了吗？

问题6 求

生7：

师：我们可以把一个三角形分割成几个容易求出面积的三角形的和，

也能把它补成几个容易求出面积的图形的差

小结：三边均不在坐标轴上，也不与坐标轴平行的三角形，以及不规则的多边形，采用割补法求面积.

 

 

 

 

 

师：已知点的坐标，我们可以求出围城的三角形及四边形的面积，那么反过来，已知三角形的面积，你会求出点的坐标吗？

问题7  M是抛物线上不同于点C的动点

当时，求出所有满足条件的点M的坐标

师：ABC和ABM的面积相同，底AB相同，那么高存在什么关系？

生：高相等

师：高是多少？

生：高是4

师：动手尝试一下，能否求出所有满足条件的点M的坐标

生8：点M是点C关于对称轴的对称点，得

解得

师：还有没有其它点存在？

生9：x轴上方还有两个点，得

解得

，

当时，满足条件的点M有几个？

生：4个，x轴上方2个，下方2个

师：考虑问题的千万不能想当然，我们观察一下x轴的下方，抛物线上的点可能是2个，1个，也可能0个

师：当底相同的时候，三角形的面积之比可以转换成高之比.根据，ABM的高是多少？

生：高为4

师：再思考下，满足条件的点M有几个？

生10：3个，x轴上方2个，下方只有1个，刚好在顶点

当时，满足条件的点M有几个？

生：2个，只有x轴上方2个，下方没有

师：为什么呢？

生：三角形的高为6，在x轴下方与抛物线没有交点，只有上方有2个

师：非常好！已知点的坐标会求三角形及四边形的面积，也能根据面积求出点的坐标，我们一起回顾一下本节课所学的内容

课堂小结：

1.面积问题的研究思路：

直接法：定底找高

间接法：割补法

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.已知三角形的面积求点的坐标：解方程

3.三角形面积相等：同底→等高

4.三角形面积之比：

等底→对应的高之比

等高→对应的底之比

5.数学思想：转化思想、方程思想、数形结合

作业布置：

1.收集3道有关二次函数面积问题的题目

2.课时集训B本12页:专题提升3

思考：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.设N(a,b)(其中0<</font>a<3)是抛物线上不确定的一个点,试求NBC面积的最大值，及此时点N的坐标.

 

四、教学反思