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分类： B12各学科集体备课活动

课题

3.1同底数幂的乘法(1)

主备人

全岳强

教材分析

在上学期乘方的基础上,延伸知识,又承接本张内容

学情分析

运用让学生自主探求的方法，帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识，提高他们的自学能力和解决实际问题的能力．

：引导学生主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力．

教学目标

1．理解同底数幂的乘法运算法则，并能正确运用．

2．通过探索公式法则，训练学生的归纳概括能力，让学生感悟从末知转化成已知的化归思想．

3．培养学生积极思维，主动探究的意识．感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成学会分析问题、解决问题的良好习惯．

教学重点

同底数幂的乘法法则及其探索．

教学难点

同底数幂的乘法法则的发现与推导．

教学方法

启发式

学习方法

自主学习，合作探究

教学用具

多媒体环境

教学过程：

一、数字游戏、提出问题

师：亲爱的同学们，现在有2、3、5 三个数字，请你任意选择其中的两个数字并用运算符号连接成一个式子，你能找出运算结果最大的式子吗？

（学生积极发言）

生1：3×5。

生2：还有更大的，5³。

生3：3⁵比5³还大呢，应该是3⁵。

……

师：在小学的时候这个题目的答案应该就是3×5了，可是在上学期我们学习了有理数的乘方，很显然3⁵、5³都比15大，哪位同学能说说什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？意义是什么，举例说明．

生4：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．a叫底数，n叫指数，aⁿ读作：a的n次幂(a的n次方)．

（教师板书：）

生5：幂的意义：aⁿ表示n个相同因数a的积，如：5³表示三个5相乘的积．

设计意图：起点低，易于抓住学生同时复习了底数、指数、幂的含义.为新知识的学习作了有效的铺垫.

（多媒体展示浩瀚星空的图片）

师：我们生活的星球只是瀚瀚宇宙中的一份子，人们一直没放弃对宇宙的探索，我们一起欣赏一些美丽的图片。

（多媒体展示浩瀚星空的图片）

宇宙中的很多星体距离我们是非常遥远的，以太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星为例，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×10⁷s秒计算，我们知道光在真空中的速度大约是3×10⁸m/s，，请同学们算一下比邻星与地球的距离约为多少？

师：谁能告诉大家，这个问题怎样解答？

生6：（轻松地）3×10⁸×3×10⁷×4.22

师：很好，算式经过整理后我们可以得到3×10⁸×3×10⁷×4.22＝37.98×10⁸×10⁷，

（教师板书）

同学们观察一下后两个乘数有什么特点？

（短时间的思考后，大部分同学举手）

生7：都是幂的形式．

生8：底数相同．

师：同学们观察的很仔细，在日常的生活实践和一些数学计算中，我们经常会遇到这样的问题上．谁能快速计算同10⁸×10⁷结果等于多少？

（学生茫然，然后摇摇头，片刻后）

生9：（站起来）10⁸是（稍顿）1亿，10⁷是（稍顿）一千万，然后把这两个数乘起来就是．（自言自语）不过，这样做也太繁琐了．（众笑）

生10：老师，有没有简便的方法？

师：问得好？简便方法是有的．这节课我们就来研究这个问题―――同底数幂的乘法．（师书课题：3.1同底数幂的乘法(1)）

设计意图：以有趣的天文知识为引例，培养学生的学习兴趣，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲，为新课的学习做好情感铺垫，引入课题．

二、师生合作，展示交流

师：刚才同学们也发现了10⁸×10⁷就是两个同底数幂的乘积，下列各式哪些也是同底数幂的乘法？

生：1、2、5是。

生：第六个也是，他们的底数都是（a－b）.

师：说得好，同底数幂，底数也可以是多项式。知道了什么是同底数幂的乘法，下面我们就来探究一下如何计算呢？

10⁸×10⁷可以怎么理解，同学们说一下。

（学生思考回答）

生：因为10⁸表示8个10相乘，10⁷表示7个10相乘，那么10⁸×10⁷就表示15个10相乘，所以结果应该是10¹⁵。

师：很好，这位同学利用幂的意义解决了这个问题，仿照刚才的思路，算一次下面几个式子的结果。

（1）10²×10³；（2）10⁵×10⁸（3）10^m×10ⁿ（m，n都是正整数）．

生：（1）的结果是10⁵，（2）的结果是10¹³，（3）的结果是10^m+n

（教师利用多媒体展示学生的推理过程）

10²×10³=（10 10） （10 10 10）＝10⁵   

10⁵×10⁸＝（10 10 10 10 10） （10 10 10 10 10 10 10 10）＝10¹³  

10^m×10ⁿ ＝ ＝10^m+n

师：依据上面的做题经验，2^m×2ⁿ等于什么？ 和（－3）^m×(－3)ⁿ呢？（m，n都是正整数）

生：2^m×2ⁿ＝2^m+n， ＝ ，（－3）^m×(－3)ⁿ＝（－3）^m+n（教师板书）

师：回答的很好．那么同学们观察上面的这几个算式，能得出什么结论？

（学生稍作沉思后）

生12：两个底数相同的幂相乘，结果的底数没变，只不过把它们的指数相加．

生13：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．

（同学们表示赞同，并认为第二种说法简练）

（师书：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．）

师：（怀疑的态度）这个结论一定正确吗？

生众：（齐说）一定正确．

师：很难说．（全体同学一愣，愕然）

师：我们来看这个结论是怎样得出的？（稍顿）以上运算是依据几个个特殊的式子得出来的：在10²×10³、10⁵×10⁸中，幂的底数、指数都是具体的数；在式子10^m×10ⁿ、2^m×2ⁿ、 和（－3）^m×(－3)ⁿ中，幂的指数换成了字母，但底数仍是具体数．在数学中，对于这样由特殊例子而得出的结论，是不一定正确的，它不能代表一般的规律．所以结论正确与否，还很难说．那么，对于一般的情况，这个结论是成立还是不成立呢？这需要我们进行严密的论证．下面请同学们分小组研究，这个结论是否适用于所有的同底数幂相乘？并说明理由．

（学生分小组进行研讨探索，气氛热烈，教师巡视．经过充分讨论后，小组开始派代表发言．全体同学都认为结论是正确的，一个学生将论证的方法写到了黑板上）：

生：（板演）

师：你能给大家解释一下每一步的依据吗？

生：第一步依据幂的意义，第二步依据乘方运算。

师：这就是我们要研究的同底数幂相乘的法则，以后可以直接用它来解决问题．

（教师板书法则的字母表示：a^m·aⁿ= a^m+n）

师：通过刚才猜想验证，我们得出了两个同底数幂相乘的法则．那么法则中的a、m、n可以是任意数吗？哪一个学生能解决这个问题？

生：（不假思索）可以是任意有理数，因为我们在上学期就学过字母可以表示任意有理数．

生：我有不同意这种说法，我认为a表示底数，可以是任意数，面m、n表示的是指数，所以只能是正整数．

（同学们同意第二种观点．师书：m、n都是正整数．）

师：这里的m、n规定都是正整数，不过，随着以后学习的深入，m、n的取值范围会逐步扩大．同学们还有什么疑惑吗？

设计意图：探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用独立思考，使学生初步理解“特殊——一般”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神和欲望．学生通过相互之间的合作，归纳出法则，发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力．

师：同学们，法则中说的是两个同底数幂相乘，那么三个或三个以上的同底数幂相乘怎样运算？

生：（迅速站起来）我认为也是底数不变，指数相加．

师：为什么？

生：（不好意思地）我还没考虑好．

师：那么，同学们思考一下，我们推出的两个同底数幂相乘的法则能否适用于三个或三个以上的同底数幂相乘？为什么？

（同学们认真推导，教师巡视，一生推导完要求回答）

生：（板演）：

生：我还有一种解法

（板书）：a^m·aⁿ·a^p=（ a^m·aⁿ ）·a^p =a^m+n·a^p=a^m+n+p

（同学们都同意这两个同学的论证方法）

师：同学们推导得非常好，可见同底数幂的乘法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘．

（师将板书法则中的“两个”擦去）

设计意图：本环节主要是让学生通过自己的问疑、释疑，使法则得到了完善、推广，解决了心中的疑惑．进一步理解法则．

三、应用法则，加深理解

师：同学们通过自己的感悟与探索得出了同底数幂相乘的法则，那么大家能不能用法则来解决问题呢？先看看我们开始提出的问题，（出示并问）：“这个星球的距离大约是多少？”

生：（积极的站起来）计算10⁸×10⁷等于10¹⁵，所以距离应是37.98×10¹⁵米．

师：回答的非常好，但是结果的书写规范吗？

生：不规范，应符合科学计数法的要求写为：3.798×10¹⁶米．

师：非常正确，这里还有几个问题，大家看怎么解答？

例1计算：

（1）（－3）⁷×（－3）⁶；     （2）（ ）³ ；

（3）－x³ · x⁵；          （4）b^2m·  b^2m+1.

（先让4名学生上黑板板演，然后让学生纠错，其余学生先独立完成，然后小组互相检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题．教师最后强调书写要规范，如：当底数为负数或分数时一定要加括号，并且第（1）小题的结果也可以写为－3¹³）

例2 光在真空中的速度约为3×10⁸m/s，太阳光照射到地球大约需要5×10²s. 地球距离太阳大约有多远？

（学生认真读题，充分思考分析，独立完成步骤书写，一名学生进行板演，其余学生先独立完成，然后同桌互相检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题．学生完成后教师进行点评强调结果的书写要符合科学计数法．）

解：3×10⁸×5×10²

=15×10¹⁰

=1.5×10¹¹(m)

地球距离太阳大约有1.5×10¹¹m.

设计意图：以教材中例题为落脚点，让学生学会判别、应用所学字母表达式，以达到巩固新知的作用．利用同底数幂的乘法运算性质解决实际问题，让学生感受大数，发展数感.提高对问题的分析、解决能力，使自己在不知不觉中进步.例2旨在让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成学会分析问题、解决问题的良好习惯．

四、变式训练，巩固提高

1．口答：

（1）x²·x⁵          （2）b⁵·b    （3）3²·3ⁿ

2．下面是某学生所做的四个题目，另一个同学说做错了，而他说没错，请评判一下谁说得对．

（1）x⁵+x⁵= x10  （2）x^m·x^m=2x^m

（3）a·a³·a⁵=a⁰⁺³⁺⁵ =a⁸  （4）－a²·(－a⁴) ·(－a)³=(－a) ²⁺⁴⁺³

3．计算：

（1）2³·2⁴·2⁵          （2）x³·x^m－1     （3）y^m－1·y^m+1·y 

（4）        （5）a³·a³+a²·a⁴

4．已知a^x=2，a^y=3（x、y均为正整数）求a^x+y的值

师：刚才的问题都是老师出示给同学们的，大家解答得好极了．那么，同学们能不能自己也编几道题运用同底数幂简洁法则的问题，让大家做一做．

（学生在下面积极编题，教师巡视，几个学生把自己编的题目写到黑板上，全体同学进行解答订正．然后同桌之间将所出问题交换解答，学生积极性非常高）

设计意图：通过练习运用同底数幂的乘法性质解决一些实际问题，让学生进一步巩固同底数幂的乘法法则. 扎扎实实的落实了字母表达式，让学生对本节主要知识有了清醒的认识．其中第4小题是对法则的逆运用，加深对同底数幂的乘法运算性质的理解，同时要求学生活学活用，发展学生的逆向思维.

五、归纳小结，升华认知

师：哪一个同学能谈谈这节课有什么收获？

（学生沉思片刻后，踊跃举手发言，陈述了以下几点）：

①学习了“同底数幂相乘法则”，并进行了应用．

②在得出法则的过程中，我们运用了从特殊猜想到一般的方法；

③学习中，可以将未知知识转化为已知知识进行解决．

设计意图：学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，教师予以鼓励，激发学生的学习兴趣与自信心，特别是课上这种由特殊到一般的知识推导方式，更是学数学应掌握的必要方法．

六、达标检测，反馈矫正

A层：

1．填空题

（1）a^{（ ）}·a⁴=a²⁰．

（2）若10²·10^m=10²⁰¹³，则m=        ．

2．计算：

（1）y·y²·y³         （2）y^m·y^m+1

（3）y^m－1·y^m+1·y    （4）

B层：

3．某种计算机每秒钟可以进行4×10⁷次运算，那么这台计算机5×10²秒可以进行多少次运算？

4．若a^m=2，aⁿ=5，求a^m+n的值．

设计意图：达标检测一方面旨在知识的巩固与深化，通过以上习题使学生能根据具体问题，学会举一反三,利用同底数幂的乘法运算性质进行运算.另一方面，教师可以及时的了解学生对新知识的掌握情况，为下一步的教学做好准备．

七、布置作业，巩固深化

必做题：作业本3.1同底数幂的乘法(1)．

设计意图：复习巩固检测本节知识训练提高运算技能和解决问题的能力．分为必做题与选做题，让不同的学生得到不同的发展，体会到不一样的成功．

板书设计:

教学反思：

本节课最大的特点是让学生通过自主探索而获取知识、发展能力．充分体现了学生自主探索的精神，学生在和谐民主的气氛中，得到了自身素质的提高．

课一开始就通过问题，学生感知到了生活中存在同底数幂相乘的实例，同时形成认知冲突，初步了进行探求的欲望；在法则的推导过程中，采用了让学生猜想的方式，引起学生的争议，激起了学生进一步探求的欲望；在学生通过特例得出法则之后，教师适时提出：“特例不能代表一般”，又使学生产生了继续探求的欲望．然后学生通过相互之间的合作，归纳出法则，通过自己的问疑、释疑，使法则得到了完善、推广，解决了心中的疑惑．最后通过必要的应用训练，学生达到了对知识的深刻理解，形成了技能，应用训练的设计做到了灵活多变、联系实际，有教师命题，也有学生编题，取得了较好的效果．

不足之处：时间把握还有点不好，达标检测有待细化．

修改内容