当孩子能独立且流畅地进行1-100的唱数，并且能进行100以内的任意止数以后，我们就可以进行任意起止数的教学了。

·       1-100的唱数：孩子可以独立且流畅地从1数到100；

·       100以内的任意止数：要求孩子从1数到任意一个100以内的数字，比如从1数到38，孩子可以独立且流畅地唱数，并且在数到规定数字的时候能停下来；

·       100以内的任何起止数：孩子可以独立且流畅地按要求从100以内的任何一个数字开始到100以内的任何一个数字结束进行唱数，比如从13数到57.

·       也是就是说从除了1外的任意一个数字数到你想让他数的那个数字。

通常来讲，如果孩子已经具备了唱数和任意止数的能力的话，这个训练很容易开展。任意起止数的训练主要是改变孩子数数一定从1开始的习惯，这个技能的建立是在日常生活中对数的使用的一个必备的技能。比如，在学校报数的时候，当别人说了一个数字，孩子能够接下去说下一个数字；又比如，当孩子借用物件或手指来做加法的时候，可以在一个数的基础上通过继续数下一个加数的方法来完成加法（例：3+2，孩子直接从3开始，往上数两个数，4，5，得出结果是5）。

阶段1目标：20以内任意数字的起止数。

初期选择安静且少干扰的环境，家长和孩子面对面坐好，在获得孩子注意力后给孩子指令：“从x数到x”（例：从3数到8）。在一开始训练的时候，孩子可能不明白“从3数”的意思，所以家长可以马上示范，大声地说“3”，并且在孩子仿说后，接下数下面的1到2个数。一旦孩子开始数数，家长就不需要再示范了，让孩子自己完成要求的唱数。当孩子按要求数完后，家长马上夸奖孩子，并且给予孩子强化物。

时常在初开始做这个训练的时候，你可能会发现孩子不是从1开始数，数数就没有那么流畅了；或者在规定的数字数到的时候没有能停下来。你不需要担心孩子原来建立的技能是不是退步了或没有了，事实上这里只是因为整体指令的改变对孩子产生了一些干扰，经过一些训练孩子很快就会把原来会的技能展示出来的。需要注意的是，孩子的唱数的能力越扎实，在这个阶段指令变化的干扰对于孩子来说就越小，所以大家一定要重视我们前面讲到的“独立”和“流畅”这两个要求。

·       独立：在听到要求的指令后，从孩子开始数数到完成，家长不给予任何的辅助，完全由孩子自己数完。

·       流畅：孩子在唱数时，以正常且平均的节奏按要求数数，中间不出现任何的停顿或出错后纠错（包括自我纠错）。

在这个阶段的训练中可以使用的辅助包括：

1.  起始数的示范：家长示范起始的数字，当孩子仿说后，家长往后数1-2个或更多的数，直到孩子展现出进入流畅的唱数的节奏。

辅助的撤销：

1）一开始，在家长示范起始的数字后，往后带着孩子数的数字越来越少，直到不再需要带着孩子进入唱数。

2）接下去，家长在给出指令后，不再马上示范起始的数字，等2秒，如果孩子没有开始数，再给出示范的起始数。

2.  结束数：一般来讲，我们期望孩子能自己停下来，所以我们不会马上提供辅助。但家长需要密切注意孩子数到最后一个数时是否有停下来的意向，以便以早提供辅助。

1）如果孩子没有停下来的意向，在孩子犯错之前，家长大声地和孩子一起数出最后一个数，在说完数字后马上夸奖孩子并给予强化物。在前一篇文章中我们有提到过，如果你的夸奖能非常及时，就会很自然地中断孩子继续往下数的行为。

2）如果家长没有能及时提供辅助，孩子已经犯错；家长先要求孩子停下来，然后重申止数的规定，比如“我们数到8，跟妈妈再练习一下“，然后从止数之前的3到5个数开始数，在这里注意，纠错练习开始的数字不能小于指令中的起数。比如，指令是从6数到8，那么在孩子犯错的时候，你可以要求孩子重新来一遍，而不是给出一个更小的数字。相反，如果你要求的起止数的跨度比较大，比如从9数到27，那么就没有必要让孩子从头开始数，而是从27之前的3到5个数字开始就可以。在纠错练习时，一定要及时给予辅助，帮助孩子停下来，不要再给孩子出现错误反应的机会。

持续这个训练的过程，直到孩子能独立且流畅地按家长随机给出的起止数完成数数的过程。

阶段2目标：扩展任意起止数的能力

当完成阶段1的训练，孩子能独立流畅地进行20以内的任意起止数时，我们就可以循序渐进地扩展孩子的这项技能了，体现在以下两个方面：

1）将数数的范围逐渐扩展到100：注意在这里可能需要分几个阶段进行扩展，比如先扩展到50，然后再往上进一步延伸。每个阶段可以扩展到哪个数域根据孩子的实际能力决定。

2）增加起止数的数域：比如一开始的时候，起止数的数域可能在10以内，即起数到止数之间相差不大于10，但在后续的训练中可以逐渐增加这个数域，最终需要实现在100以内的任何数域，比如（从2数到99），孩子在进行了长时间的唱数之后，仍然能记得止数是什么，并且在数到时能停下来。

在这个阶段的训练中可以使用的辅助包括：

1）在上一阶段使用的两个辅助，如果需要仍然可以使用。但家长不需要急着给辅助，如果你的任务难度的增加是循序渐进的，你会发现孩子需要你的辅助并不多。然而，当孩子确实遇到困难而出错时，家长一定要及时提供辅助，千万不要因为孩子之前是会的，所以要求孩子自己去琢磨。

2）对于认识数字的孩子，可以使用止数的数字卡作为视觉提示。当扩展了起止数的数域后，会出现孩子忘了该在哪里停下来的情况。在这里需要注意的是，有的孩子因为忙着数数，并不会去看数字卡。有几种方法可以使用：1）始终举着数字卡，放在孩子的眼前，在孩子数的过程中一直有机会看到这个数字；2）数字卡放在桌面上，在孩子快数到的时候，比如最后2个数，用手指点一下数字卡。最理想的提醒看数字卡的时间是与孩子数这个数的时间正好同步；如果你提醒地早了，可能会干扰到孩子的唱数过程。

数字卡的撤销：使用数字卡时，一开始的时候数字卡一直呈现在桌面上，然后背过来放在桌面上，渐渐地只在一开始给指令的时候呈现，指令结束时就马上移除，到最后不再使用数字卡。

根据孩子的不同的情况，以上的辅助手段不需要全部使用，或者不需要严格使用那么多的辅助，还是要根据孩子的情况决定是全部照做还是删减辅助步骤去做。当孩子完成该练习以后，还要换不同的教学者和场景进行泛化练习，最终达到完全精熟。