第四章 一次函数

一、函数：

一般地，在一变化过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

表示函数的方法一般有：列表法、关系式法、图像法。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义等几方面考虑。

三、函数值

对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，若函数有唯一确定的对应值，这个对应值你为当自变量等于a时的函数值。

四、函数的图象：

把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

五、由函数关系式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

六、正比例函数和一次函数  

   1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kc+b（k，b为常数，k 0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即y=kx）（k为常数，k 0），称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像:  所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

一般地，正比例函数y=kx有下列性质：4、正比例函数的性质

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

    任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

    结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

    从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

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