加载中…关于三等分任意角的问题
(2018-06-19 15:50:48)
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以下是百度百科上的回答：三等分角是古希腊三大几何问题之一。三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。
于是，我有点疑惑。因此，花了几天思考了一下，然后就恍然大悟了。以下是我的画图过程：
首先，一条定理应该先要去搞明白的，即，三个等腰三角形，如果顶点的角度相同，并且两条腰的长度相等的情况下，顶点所对的那条边是相同的。反过来说，三个等腰三角形，如果两条腰的长度相等，并且顶点所对边的长度相等的情况下，三个顶点的角度是相同的。
然后，就开始三等分过程（证明过程，就不赘述了，反正就是上面那条定理的延生。）
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第一，画一任意三角形，如上图∠BAC
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第二，平分∠BAC（如上图）
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第三，四等分∠BAC（如上图）
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第四，连接四等分点DE，DE与中线交点为F（如上图）
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第五，以DF（或EF）为半径，在中线任意处画圆。（如上图）
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第六，以D点为基点，做圆的切线1。同样，以E为基点，做圆的切线2。（如上图）
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第七，以DE为为半径，在边AC上画两个半圆，做同时与两个半圆相切的直线3。直线3与直线2的交点为H。同样
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第八，连接AH、AI，于是三等分就画出来了（作图水平比较烂，请别介意）。∠BAI=∠IAH=∠HAC。
另附尺规作图，画六个等角。
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第一步，画任意直线。（如上图）
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第二步，取任意长度为半径r，做两个半圆，随后，做直线同时与两圆相切。（如上图）
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第三，取2r为半径做两个半圆，随后做直线与两圆相切。（如上图）
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第四，在中间直线上，取任意一点o为中心，画半径为R的圆弧，与三条直线分别相交与a、b、c（如上图）
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第五，连接ao、co、bo，可知∠A=∠B
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第六，在bo边，取任意点，以r为半径，做两个半圆，做直线同时与两个半圆相切，与大圆弧相交的点为d。（如上图）
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第七，连接do，得∠C，可知∠A=∠B=∠C。（如上图）
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第八，同样，以r为半径，在do边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于e。（如上图）
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第九，连接eo，得∠D，可知，∠A=∠B=∠C=∠D。（如上图）
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第十，同样，以r为半径，在eo边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于f。（如上图）
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第十一，连接fo，得∠E，可知，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E。（如上图）
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第十二，同样，以r为半径，在fo边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于g。（如上图）
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第十三，连接go，得∠F，可知，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。（如上图）
由上述作图可知：
1.∠A+∠B=∠C+∠D=∠E+∠F
2.如果以2r为半径，则做出的角，是以r为半径做出角的2倍。
搞懂上面六个角，就能搞懂前面的三等分。
于是，我有点疑惑。因此，花了几天思考了一下，然后就恍然大悟了。以下是我的画图过程：
首先，一条定理应该先要去搞明白的，即，三个等腰三角形，如果顶点的角度相同，并且两条腰的长度相等的情况下，顶点所对的那条边是相同的。反过来说，三个等腰三角形，如果两条腰的长度相等，并且顶点所对边的长度相等的情况下，三个顶点的角度是相同的。
然后，就开始三等分过程（证明过程，就不赘述了，反正就是上面那条定理的延生。）
http://a4.qpic.cn/psb?/6ba91e7a-2da9-4e0c-a54f-a7bb024bfce9/GbwU1V2YBC8RslV*leSNHGwbnn97yqeEeVbo8RThoyo!/b/dB8BAAAAAAAA&ek=1&kp=1&pt=0&bo=OASgBQAAAAAREL4!&tl=3&su=0214447857&tm=1529391600&sce=0-12-12&rf=2-9
第一，画一任意三角形，如上图∠BAC
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第二，平分∠BAC（如上图）
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第三，四等分∠BAC（如上图）
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第四，连接四等分点DE，DE与中线交点为F（如上图）
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第五，以DF（或EF）为半径，在中线任意处画圆。（如上图）
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第六，以D点为基点，做圆的切线1。同样，以E为基点，做圆的切线2。（如上图）
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第七，以DE为为半径，在边AC上画两个半圆，做同时与两个半圆相切的直线3。直线3与直线2的交点为H。同样
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第八，连接AH、AI，于是三等分就画出来了（作图水平比较烂，请别介意）。∠BAI=∠IAH=∠HAC。
另附尺规作图，画六个等角。
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第一步，画任意直线。（如上图）
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第二步，取任意长度为半径r，做两个半圆，随后，做直线同时与两圆相切。（如上图）
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第三，取2r为半径做两个半圆，随后做直线与两圆相切。（如上图）
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第四，在中间直线上，取任意一点o为中心，画半径为R的圆弧，与三条直线分别相交与a、b、c（如上图）
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第五，连接ao、co、bo，可知∠A=∠B
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第六，在bo边，取任意点，以r为半径，做两个半圆，做直线同时与两个半圆相切，与大圆弧相交的点为d。（如上图）
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第七，连接do，得∠C，可知∠A=∠B=∠C。（如上图）
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第八，同样，以r为半径，在do边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于e。（如上图）
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第九，连接eo，得∠D，可知，∠A=∠B=∠C=∠D。（如上图）
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第十，同样，以r为半径，在eo边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于f。（如上图）
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第十一，连接fo，得∠E，可知，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E。（如上图）
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第十二，同样，以r为半径，在fo边做两个半圆，做直线同时切两个半圆，与大圆弧交于g。（如上图）
http://a2.qpic.cn/psb?/6ba91e7a-2da9-4e0c-a54f-a7bb024bfce9/*nfFd0xAYy5TNbNi*6obnElJVw2sio.C9mS6gGh4TfU!/b/dCEBAAAAAAAA&ek=1&kp=1&pt=0&bo=oAU4BKAFOAQRBzA!&tl=3&su=0114924369&tm=1529391600&sce=0-12-12&rf=2-9
第十三，连接go，得∠F，可知，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。（如上图）
由上述作图可知：
1.∠A+∠B=∠C+∠D=∠E+∠F
2.如果以2r为半径，则做出的角，是以r为半径做出角的2倍。
搞懂上面六个角，就能搞懂前面的三等分。
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