中国古典数学名题集

沣东实验小学    王鸽

（1）：两鼠穿垣

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？

题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？

此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。 

（2）韩信点兵

传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。如果韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间。

（3）和尚分馒头

我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题： 
一百馒头一百僧，
大僧三个更无争，
小僧三人分一个，
大小和尚各几丁？"

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

方法一，用方程解：
解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程：
　　3x+1/3(100－x)=100
　　解方程得：x=25
　　小和尚：100－25＝75人

方法二，鸡兔同笼法：
(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？
　　3×100=300(个)．
(2)这样多吃了几个呢？
　　300－100=200(个)．
(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？
　　3－1/3=8/3
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：
　　200÷8/3＝75（人）
　　大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分组法：
由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：
　　100÷（3+1）=25，100-25=75。　我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。

（4）. 以碗知僧

有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？

（5）. 百钱问题

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？

相传在南北朝时期（公元 386 年——公元 589 年），我国北方出了一个“神童”，他反映敏捷，计算能力超群，许多连大人一时也难以解答的问题，他一下子就给算出来了。远远近近的人都喜欢找他计算数学问题。 
“神童”的名气越来越大，传到当时宰相的耳中。有一天，宰相为了弄清“神童”是真是假，特地把“神童”的父亲叫了去，给了他 100 文钱，让第二天带 100 只鸡来。并规定 100 只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有，而且不准多，也不准少，一定要刚好百钱百鸡。 
  当时，买 1 只公鸡 5 文钱，买 1 只母鸡 3 文钱，买 3 只小鸡才 1 文钱。怎样才能凑成百钱百鸡呢？“神童”想了一会，告诉父亲说，只要送 4 只公鸡、 18 只母鸡和 78 只小鸡就行了。 
  第二天，宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡，大为惊奇。他想了一下，又给了 100 文钱，让明天再送 100 只鸡来，还规定不准只有 4 只公鸡。 
   这个问题也没有难住“神童”。他想了一会，叫父亲送 8 只公鸡、 11 只母鸡和 81 只小鸡去。还告诉父亲说，遇到类似问题，只要怎样怎样就行了。第二天，宰相见到了送来的 100 只鸡，赞叹不已。他又给了 100 文钱，要求下次再送 100 只鸡来。 
   岂料才一会儿，“神童”的父亲就送来了 100 只鸡。宰相一数：公鸡 12 只、母鸡 4 只、小鸡 84 只，正好又满足百钱百鸡……。 
   这个“神童”就是张丘建。他继续勤奋学习，终于成为一个著名的数学家。他的名著《张丘建算经》里，最后一个题目就是这个有趣的“百鸡问题”。 

“百鸡问题”是一个不定方程问题。 x+y+z=100 
设买公鸡、母鸡和小鸡分别为 x 、 y 、 z 只，依题意可得方程组： 5x+3y+ 1/3z=100 
另外再设一个整数参数 k ，就有： x=4k , y=25 － 7k , z=75+3k 。 
因为鸡数 x 、 y 、 z 都只能是正数，所以满足这组式子的 k 值只能是 1 、 2 、 3 。分别用 1 、 2 、 3 去替代式子中的 k ，算出的答案正好与张丘建的一模一样。 
在张丘建生活的那个年代，人们还不会列出方程组，那么，他又是怎样算出题目的几个答案的呢？ 
原来，张丘建发现了一个秘密： 4 只公鸡值 20 文钱， 3 只小鸡值 1 文钱，合起来鸡数是 7 ，钱数是 21 ；而 7 只母鸡呢，鸡数是 7 ，钱数也是 21 。如果少买 7 只母鸡，就可以用这笔钱多买 4 只公鸡和 3 只小鸡。这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。所以，只要只有求出一个答案，根据这种法则，马上就可以求出其它的答案来。 
这就是驰名中外的“百鸡术”。

（6）.元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱。  

问：梨果多少价几何？

答案：梨有657个，共803文钱，果有343个，共196文钱。

（7）. 百羊问题

《算法统宗》里的问题《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：

甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有100只吧”，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？

（8）李白买酒

我国唐代的天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”

解题方法：壶中原有酒量是要求的，并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（乘以2）定量减（减肥斗）而光。求解这个问题，一般以变化后的结果出发，利用乘与除、加与减的互逆关系，逐步逆推还原。"三遇店和花，喝光壶中酒"，可见三遇花时壶中有酒巴斗，则三遇店时有酒巴1÷2斗，那么，二遇花时有酒1÷2+1斗，二遇店有酒（1÷2+1）÷2斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为

[（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/8（斗）

故壶中原有7/8斗酒。

以上解法的要点在于逆推还原，这种思路也可用示意图或线段图表示出来. 

当然，若用代数方法来解，这题数量关系更明确。设壶中原有酒x斗，据题意列方程 

2[2（2x-1）-1] -1=0

解之，得x=7/8(斗)

（9）浮屠增级

在明朝程大位<<算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌。

  远看巍巍塔七层 红光点点倍加倍

  共灯三百八十一 请问尖头几盏灯

  这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠。本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，问这个塔顶有几盏灯

答曰:顶层三盏浮屠就是佛塔.本题是说,远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂满了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍,全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯?                    

首先列出各层灯数的比是 1:2:4:8:16:32:64 其总和为了+2+4+8+16+31+64=127 即把总灯数分成127份,一份的灯数是 361/127=3,这就是顶层的灯数.                    

解：设一层x

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

                                 127x=381

                                       x=3

8x=24

答：第四层24红灯

（10）物不知数

我国古代数学名著<孙子算经>中有这样一道有关自然数的题,
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?
翻译:一个数被3除于2,被5除3,被7除2.求这个数.
请你解释一下这个数是几?

孙子算经>的解决方法大体是这样的,
先求被3/2,同时能被5,7都整除的数,最小为140.
在求被5/3,同时能被3,7都整除的数,最小为63.
最后求被7/2,同时能被3,5整除的数,最小为30.
于是数140+63+30=233,就是一个所需求的数,.
它减去或加上3,5,7的最小公倍数的105倍数,比如233-210=23.
233+105=388,......也是符合要求的数,所以符合要求的数有无限个.最小的是23.