《类比探究专题复习（一）》教学设计

—— 梨林一中  刘冰

一、教材分析

类比、探究题型是中考的重点内容，多数是考查学生对全等三角形、相似三角形、特殊图形的判定和性质以及三角形的角平分线、中线、垂直平分线、中位线等知识的综合应用，既能检测学生对基础知识的掌握情况，又能培养学生的理解能力、推理能力和综合应用能力。此类题综合性较强，难度较大，得分率不高。因此，本节课的专题复习对于中考来说具有很重要的作用。

二、学情分析

学生对类比、探究的题型有着一定的解题经验，但是仍有很多不足，具体表现为：第一问中简单的几何证明都没什么问题，但是他们不会将第一问中图形的特征放在第二问中用相同的或类似的方法解决，形不成特有的解题思路。第三问的图形要稍复杂一些，多数还要添加辅助线，构造类似于前两问的基本图形，由于前边问题解决的过程中思路混乱，第三问中多数学生根本就无从下手。所以，怎样引导学生通过类比、转化将前边问题的解决方法照搬到第三问中，将复杂问题简单化，是本节课学习的关键。

三、教学目标

在本节课的教学中，不仅要让学生灵活运用基础知识，更重要的是要让学生掌握研究问题的方法，领悟类比思想在数学的重要作用，从而激发学生学习数学的兴趣。为此，我确立如下目标：

知识目标：学生在教师引导下，积极主动地经历用类比思想解决问题的过程，体会这种解题方法的简单、有效性。

过程与方法：经历解决问题的过程，体会分析问题的方法，积累解题经验，形成技能。

情感与态度：通过借助类比思想获得解题方法，培养学生严密的逻辑思维品质以及用于探索、团结协作的精神。

教学重难点：

引导学生观察图形的特征，通过类比，构造类似的图形，形成规范的解题思路。

四、教学过程设计

（一）初步尝试、总结经验

例1、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α。

（1）【问题发现 】

 ①当α＝0°时，          ；②当α＝180°时，           ；

（2）【拓展探究】

试判断：当0°≤α<360°时，   的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明。

（3）【问题解决】

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长。

 

1、教师给出例题，学生独立完成第（1）小题，并请学生分享解题方法。

分析：当α＝0°时，用平行线分线段成比例定理来计算；当α＝180°时，可使用相似三角形得出结论。当然，下边肯定有学生计算了AE和BD线段的长度再得出结论，等第（2）小题解出来后，让学生分析这种方法的弊端。

2、学生独立思考线段AE、BD未知时如何得出    的大小。

学生讲解：根据以往做题经验，看到求比值的题目时，要想到需证明相似三角形，再确定分别以AE、BD为边且形状接近的两个三角形为△AEC和△BDC，并证明它们相似，由相似比得出结论。

教师提问：（1）为什么要通过证明相似三角形得出结果？问题目的：①第一小题能算出AE、BD的长度，而此题不能，体现从特殊到一般的过程；②求比值多数需要证明三角形相似，强化学生解题思路的形成。

     （2）判定这两个三角形相似的方法是什么？提问目的：是学生明白已知的线段长在此题中的关键作用是为了判定三角形相似。

     （3）第（1）题中直接求AE、BD长的弊端是什么？提问目的：让学生明白知识迁移对于解从特殊到一般题目的重要性。

3、学生带着前两小题的解题经验思考第（3）题。

分析：A、D、E三点中点A是定点，而点D、E的位置随△DEC的旋转而不断变化，引导学生分析在旋转一周的过程中，△DEC旋转到哪时A、E、C三点共线，这样的位置有几个？

E

    部分学生会画出如上图所示的△DEC的位置，并能分析出此时四边形ABCD为矩形，所以对角线BD=AC。因为这时产生了特殊的四边形---- 矩形，但是其它情况，学生根本想不出来，这时，教师需要提醒学生要把借助从一般到特殊的数学思想来解决，把整个旋转过程中，线段DE所划过的痕迹分析出来，再找何时三点共线。

由于当0°≤α<360°时，   的值不变，且△AEC∽△BDC，所以，第三小题中△AEC∽△BDC、△AE′C∽△BD′C仍成立，这样就可以直接由相似三角形对应边成比例算出BD的值。

4、反思总结

这类题第（1）问给出的是特殊条件和特殊条件下的图形，所以要在特殊情况下发现问题；第（2）问给出的是一般条件及图形，此时要在第（1）问的基础上拓展探究；第（3）问是对前边问题结论的应用。

（1）请同学们以小组为单位，从数学知识、数学方法、数学思想等方面总结这道题的解题感悟。

（2）教师总结：

数学知识：平行线分线段成比例定理的应用、相似三角形的证明

数学方法：求比值要想到“相似”的相关知识。

数学思想：（1）特殊到一般：在特殊情况下发现结论，类比着在一般情况下进一步探究证明结论，然后在具备条件和图形的题目中应用结论解决问题；（2）类比：① 解题思路的类比； ②图形的类比.

（二）真题演练

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　_________　；

②线段AD，BE之间的数量关系为　_________　．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

1、学生独立完成第（1）、（2）题，并请一名学生分享解题思路。

教师提问：（1）从第（1）题到第（2）题，图形特征有什么不同？

         （2）再解题方法上你有什么收获？

教师的提问目的是帮助学生强化知识的迁移和数学思想方法的渗透，使学生掌握类比探究类题目的解题方法。

2、带着自己的收获思考第（3）题。

           

如图3①，

（1）学生能够确定符合条件的点P的大概位置，但可能想不到通过以点D为圆心，1为半径画圆，并在圆上确定点P使∠BPD=90°。

（2）前两题都是通过证明三角形全等得出结论，再此图中不存在全等的三角形，所以需要学生自己构图。

（3）再第（2）题中，CM是等腰直角三角形的三线，在此题中，通过对比，学生可能会想到构造等腰直角三角形，但不知道改怎么添加辅助线，所以教师要引导学生发现A到BP的距离AH可以作为需要构造的等腰直角三角形的三线，以这条线索为依据构造等腰直角三角形AEP。

（4）根据图中正方形和等腰直角三角形的性质（边、角）证明△ABE≌△ADP，得到BE=DP=1，则AH=(BP-BE)÷2

（5）类比第一种情况，求第二种情况下的AH

3、反思总结

（1）请同学们以小组为单位，从数学知识、数学方法、数学思想等方面总结这道题的解题感悟。

（2）教师总结：

数学知识：正方形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的证明、圆的相关知识。

数学方法：由动点问题确定相等的线段，需要通过画圆来解决。

数学思想：（1）特殊到一般：在特殊情况下发现结论，类比着在具备条件和图形的题目中应用结论解决问题；（2）类比：① 解题思路的类比； ②图形的类比。

五、教学设计说明

本节课，主要让学生通过类比、推理解决问题，为学生提供充分思考的空间及表达个人想法的机会，使学生充分的感知后，自然形成做此类题的技能。教师仅作为知识的组织和引导者，引导学生积极地探索发现、讨论交流及概括总结，使课堂教学真正成为学生亲自参与的丰富生动的数学活动。

类比探究专题

                                ------------赵素青

1．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α

（1）问题发现

①当α＝0°时，           ；②当α＝180°时，           .

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α<360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

 

（1）【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解.

（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到 ，再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程，结合旋转的性质得到 任然成立，从而求得△ACE∽
△BCD，利用其性质，结合题干求得AC的长即可得到结论.

 

（3）【分析】利用第一问第二问的结论解决问题，知道 的比值求出AE的长即可求出BD的长

知识：旋转、相似、全等

思想：从特殊到一般

方法：通过旋转的性质从特殊到一般得到边的比，然后利用结论解决问题

 

 

 

 

 

2、（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到。如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上的一点，BF的延长线交射线CD于点G。若 =3，求 的值。

（1） 尝试探究

在图一中，过点E作EH∥AB交BG于点H ,则AB和EH的数量关系是       ，CG和EH的数量关系是       ， 的值是       。

（2） 类比延伸

      在原题条件下，若 =m（m＞0），则 的值是       （用含m的代数式表示）。试写出解答过程。

     （3）拓展迁移

   如图二，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F。若 =a， =b(a＞0,b＞0),则 的值是       （用含a、b的代数式表示）

                         E

      A       D                 

               G          D  F  C 

      F                    

  B    E    C            A         B

     图一                     图二

（1）【分析】本问体现“特殊”的情形， ＝3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；

（2）【分析】本问体现“一般”的情形， ＝m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．

 

（3）【分析】本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．

知识：相似、中位线

思想：类比、转化、从特殊到一般

方法：通过做平行线构建相似转比例得到 的值

 

作业训练：.（10分）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：（1）∠AEB的度数为            ；

     （2）线段BE之间的数量关系是            。

 

 

 

 

 

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=90⁰, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

 

 

 

 

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD= 。若点P满足PD=1,且∠BPD=90⁰，请直接写出点A到BP的距离。

 

 

 

 

 

 类比探索、拓展探究类题目解析

克井一中   李勇勇

 

一、地位分析

1. 中考22题，分值为10分，它是中考重难点内容；
2. 常设置三小问：

•    第一问一般是特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）条件下以填空题的形式写出角的大小，面积之间的数量关系及线段之间的数量关系或位置关系；

•    第二问一般是弱化图形（图形平移、旋转或由特殊到一般）或条件，再探究第一问的结论是否成立，并给予证明或给出求解过程；

•    最后一问往往是利用前两问的求解思想或结论在进行拓展或解决问题。

3.  此类型题多涉及相似三角形、特殊图形的判定和性质以及三角形的角平分线、垂直平分线、中位线等的性质，综合性较强，难度较大。

 

    1、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在     △ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，  连接BQ、CP，则BQ=CP．” 
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．

 

（设计意图：这道题在图形变换的基础上考察图形全等，难度系数★，让学生从最简单的三角形全等中体会类比，体会变与不变，图形位置发生变化，但是其中三角形全等的关系依旧存在。）

 

2、（2013•德州）1）如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.连接BE,CD,请你完成图形,并判断BE与CD的大小关系为：BE______CD．并证明。（尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）；
（2）如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识,完成下题：如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长．

　

 

 

 

 

 

 

 

（设计意图：由三角形→正方形→构造特殊图形，难度系数★★，类比1.2问解3题，通过构图，真正体会变与不变，依旧的图形在变，图形之间的关系依旧，通过探究图形关系来把握图形构成要素之间的数量关系。）

 

二、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是几个案例，请补充完整。

试一试

1、如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据______，易证△AFG≌______，得EF=BE+DF．

、

 

2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有EF=BE+DF．

 

 

（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

 

 

（设计意图：明确图形变换---旋转，难度系数★★，在上一题的基础上，学生已经可以清楚的知道解题需要根据1题思路构图，来达到解题的目的，且3题线段之间的数量关系关系发生变化，让学生更深入的了解到类比下三角形全等不变，数量关系会因为图形的变换发生变化。）

 

 

 

 

3、   在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

 

 

(设计意图：难度系数★★ ，没有明显的提示做题，需要学生综合利用题目中所给的信息作出辅助线，已达到解题的目的，只要第一问进行突破，第2、3问就会迎刃而解。图形在变换，数量关系不变。)

 

 

 

三、典例精讲

 

例（2015  河南）如图①，在Rt△ABC中,∠B=90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α=0°时，     =____；

②当α＝180°时，     =_____.

 

 

 

 

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α < 360°时，四边形AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.

 

 

(3)问题解决

当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD的长

（设计意图：难度系数★★★，原图形是典型的A型图相似，经过几次变换，相似关系一直不变。1、2问是基础题目，3问涉及到分类讨论，同时第二种情况又涉及到点E的位置所在，难度加大，只要情况分析到位，学生对于计算不成问题。）

     第22题类比、拓展探究题

                 ---专题练习

                                            克井一中杨梅玉
典例精讲

例.（2015  河南）如图①，在Rt△ABC中,∠B=90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α=0°时，     =____；

②当α＝180°时，  =_____            

                                                  

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α < 360°时，四边形AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.                                        .

                                               

(3)问题解决

当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD的长

 设计意图

 我设计本道题的目的有以下几个；

1.让学生们观察归纳上述三道题目之间的关联性，熟悉掌握这类题目的特征

 2.引导学生归纳总结这类题目采用的解题思路是同一条主线，就是第1题得出一个结论，     第2题变换条件，这个结论还成立么？第3题应用这个结论解决问题

 而在实际教学过程中，这道题几乎花了一节课的时间，学生对于这类题目有了初步的认识。总结起来还是学生对于类比的数学思想不太熟悉，对于相似的应用不太熟练。希望在以后的练习中能有所进步。

小试牛刀

1.(1)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
    感悟解题方法，并完成下列填空：
    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，              
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°–45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．                             
即∠GAF=∠______ .

又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______  .          

∴ __________ =EF，故DE+BF=EF．                            
 (2)如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF= ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想

 

 

 

                                     

 

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF= ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想.                                         

设计意图

我设计本道题的目的有以下几个：

1.根据第一题总结的这类题目的做题思路，趁热打铁检测掌握应用的程度

2.对于第22题，让学生从题目特征、做题思路、涉及知识点、数学思想等方面写出自己的见解。

而在实际教学过程中，这道题在第一节课并没有来得及做，在习题课上才有时间做，但是设计目的基本达到。通过本类题目的练习，学生对于类比拓展题有一定的认识，但是最后一问还要经过大量的练习，并且提高做题速度才有可能做对。

作业

1.(1)操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系____________；

(2)问题解决：

如图②，若(1)中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；

(3)类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠△AED使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝2+2√2，直接写出DE的长

 

几何中的类比探究

                                               大峪二中     刘丽芳

一、  探究发现

问题一：如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点。

（1）求图①中，∠APD的度数为__________；

（2）图②中，∠APD的度数为_________；图③中，∠APD的度数为________；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

数学知识：全等三角形的性质，多边形的内角和外角

数学方法：此题应当根据正多边形的性质证明一对全等三角形，再结合三角形的外角的性质，发现要求的角总等于正多边形的一个内角．

数学思想： 类比：都是证明三角形全等

 

二、深入探究

问题二：（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G。猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论。
（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。

    

数学知识：矩形的性质与判定，平行四边形的矩形与判定，总结线段相等的方法。

数学方法：第一个图形是矩形，可以利用HL证明全等，而第二个图形是平行四边形，不可以利用全等来证，用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和题目中不变的特征，探究新的方法。

数学思想： 特殊到一般：在特殊情况下发现结论，类比着在一般情况下进一步探究证明结论。

三、   归纳总结

解决几何类比探究题的一般方法：

（1）  根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；

（2）  用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和题目中不变的特征，探究新的方法。

四、   拓展练习

1、（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．

 

数学知识：矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识。

数学方法：由折叠的性质可知折叠前后的两个图形全等，求线段的比值可以采用设未知数的方法，在直角三角形中用勾股定理来求。

数学思想：类比，解题思路的类比，第3问类比第2问的方法。

2、如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，
（1）若取AB的中点M，可证AE=EF，请写出证明过程．
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

                        

数学方法：正方形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定方      法的掌握情况，正确作出辅助线在BA延长线上截取AP=CE，构造三角形全等是解题关键．

数学思想：类比，解题思路的类比，第2问类比第1问的方法