课题：类比探究之折叠问题

 

授课人：李迎迎

课时：1课时

课型：复习课

目标：

1、梳理类比探究题解题思路，掌握类比探究题型之折叠问题的解决方法。

2、学会类比运用解题思路解决问题。

2、培养学生数形结合、发现问题、归纳类比、拓展延伸等能力。

重点：掌握类比探究题型之折叠问题的解决方法

难点：培养学生数形结合、发现问题、归纳类比、拓展延伸等能力

教学过程：

一、 知识回顾

旋转：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转。

旋转的三要素: 旋转中心、旋转方向、旋转角度

旋转的基本性质：

1、对应点到旋转中心的距离相等

2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

3、旋转前后的图形全等

练一练:

如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一点,△ABE经过旋转后得到△ADF,请按图回答:

 

(1)旋转中心是哪一点?

(2)经过旋转,点B与点E分别转到什么位置?

(3)旋转角是多少度?

(4)∠EAF等于多少度?

 

 

 

 

 

 

设计意图：通过练习，训练学生找清旋转问题的旋转中心，旋转角，掌握旋转的基本性质，旋转性质：旋转前后的图形全等经常用到。

二、典例精析1

如图1，将两个完全相同的三角形纸片和 重合放置，其中.

（1）操作发现

如图2，固定 ，使 绕点 旋转。当点 恰好落在 边上时，填空：

①线段 与 的位置关系是          ；

②     设 的面积为 ， 的面积为 。则 与 的数量关系是       。

（2）猜想论证

③      当 绕点 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 和 中 边上的高，请你证明小明的猜想。

（3）拓展探究

④          已知 ，点 是其角平分线上一点， ， 交 于点 （如图4），若在射线 上存在点 ，使 ,请直接写出相应的 的长

 

数学知识：图形的旋转；全等三角形的判定和性质；三角形的面积；等边三角形及菱形的判定和性质

数学思想：类比转化思想、从特殊到一般

学生不易解决问题之处：

第二问需要证明△ANC≌△DMC，从而得出AN=DM   

第三问涉及两种情况，作∥ 交 于点 ,作 交 于点

类比第一问，作∥ 交 于点 ，这一点容易想到，作交 于点 学生不易想到。

 

 

 

 

典例精析2

如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α

（1）问题发现

①当α＝0°时，           ；②当α＝180°时，           .

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α<360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

 

数学知识：图形的旋转；勾股定理；相似三角形、直角三角形及矩形的判定和性质

数学思想：类比转化思想、从特殊到一般

学生不易解决问题之处：

第一问简单，第二问△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴仍然成立，再证△ACE∽△BCD，学生不易发现。第三问△EDC旋转过程中有两种情况，

 

 

 

 

 

 

 

结合 ,以点C为圆心，以CD为半径画圆，从而得出这两种情况。

 

归纳总结：

类比探究题以几何综合题为主，一般设置三问，第一问一般是在特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）条件下以填空题的形式写出角的大小，面积之间的数量关系及线段之间的数量关系或位置关系；第二问一般是由特殊到一般，再探究第一问的结论是否成立，并给予证明或给出求解过程；第三问一般是利用前两问的求解思想或结论再进行拓展或解决问题.

类比探究之折叠问题解题方法：

1、根据旋转，首先找出旋转中心、旋转角、旋转方向，利用旋转前后的图形全等结合题中条件解决第一问。

2、类比运用第一问的解题思想、解题方法解决第二问，如果不能，返回题中条件重新分析，找出其中不变的特征和变化的特征，转换思路解决问题。

3、运用前两问的求解思想或结论解决问题。

类比探究专题

                               邵原一中 李会

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。

一.下面是一个案例，请补充完整。


原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF与BE、DF具有怎样的数量关系？试说明理由。
（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A 逆时针旋转90 °至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC＝∠B=90°，
∴∠FDG＝∠ADF+∠ADG=180°，点F、D、G共线。
根据____________，易证△AFG≌________，得EF=BE+DF。
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系__________时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， 点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的关系数量，并写出推理过程。

    教后心得：“答案就在问题中。”选本题的主要目的是，培养学生现场学习的能力，题目中的【思路梳理】，就像一根拐杖。如果没有思路梳理，本题的难度就很大。相反，如果理解了思路梳理，就可以“比葫芦画瓢”，解决出剩余的两个问题。

1.知识：旋转的原则——使相等的线段重合。旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等（找准对应元素）。全等

2.本题中的难点在于：能否在第二、三问中画出正确的图形。其实上，考察了学生的空间想象能力。

3.本题中虽有从特殊到一般的数学思想，但是我认为贯穿其中的不是这条主线，而是类似的解题思路。

 

 

 

 

 

 

二. (1)【问题发现】如图1，在R_t△ABC中，AB=AC=4，∠BAC= 90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积.

小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：

=_____________，△ABF的面积为_______________.

(2)【类比探究】如图2，将(1)中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD=2AD”，其他条件不变，试求﹍△ABF的面积，并写出推理过程．

 (3)【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足CD=2AD，E为BD上一点，∠AEB=60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．

教后心得：选择本题，主要也是想培养学生学习教材的能力。就是，当教材告诉你结论的时候，你自己也要动脑子去证明，一定要思考，而不是简单的“看过”。没有思考的看，毫无价值。比如本题中，【小明发现，﹍﹍构造出全等三角形】，动脑筋的人会在此有疑问——谁俩全等？他们怎么全等的？回顾整个解题过程，这对全等的三角形及证明全等三角形的证法都不变（ASA）。由这个证法不变，在第3问中，我们才会想到[过C作CG垂直BC，交AF的延长线于G]的辅助线。

1.接下来，用到的知识点是相似的基本图形——“绕8字”。由基本图形，我们会联系到相似的知识。从而有了比例。

2.直角三角形：由面积相等得到等量关系ab=ch，求底边上的高。

3.三角形面积的计算：常规思路

4.关于【过点A 向BC作的高】前两问中可以没有这个辅助线，直接计算就行。但是，在第3问中，这个“高”成就了一对相似三角形。如果我们把前2问的高都画出来，那么比较这3个图，就会发现图形相似度极高。

做完这个题，整体感受是【小明发现，﹍﹍构造出全等三角形】很关键。解决完这个问题，当回过头重新来看这个问题，我们思考，为什么要做这样的辅助线？（其实这个问题没有必要向学生呈现。）要求面积，我们很容易得到高，关键是找到BF的长度。BC的长度有，要是有BF和CF的比例就好了。思考到这里，我就走不下去了。也不一定，尝试一下绕8字的图形，进而又猜想全等。

比较前后的两种分析思路，会发现正好相反。

总体感觉，这两道题，比较好。考察了学生现场学习的能力。解题的思路非常清晰。

 

 

类比探究教学设计

                          大峪一中 杜春霞

1.如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。  若       = 3, 求       的值.

(1)尝试探究

在图1中，过点E作EH // AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系

是__，CG和EH的数量关系是____，        的值是   ______.

(2)类比延伸

如图2，在原题的条件下，若        = m (m＞0), 则       的值是____

（用含m的代数式表示），试写出解答过程.

(3)拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC // AB，点E是BC的延长线上一点，

AE和BD相交于点F，若        = a,       = b (a＞0,b＞0), 则       的值

是_________________（用含a、b的代数式表示）.

n  设计意图：解题方法：1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如照搬字母、照搬辅助线、、照搬相似。2.寻找不变的结构（相似）

 

 

 

 

2. 操作发现:如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩
（1）操作发现：如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部,小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,为什么.
（2）问题解决：保持（1）中的条件不变,若DC=2DF.求AD/AB的值
（3）类比探求：保持（1）中的条件不变,若DC=nDF,求AD/AB的值.

数学思想： （1）特殊到一般：在特殊情况下发现结论，类比着在一般情况下进一步探究证明结论，然后在具备条件和图形的题目中应用结论解决问题. （这类似于定理、公式的生成过程）（2）类比：① 解题思路的类比； ②图形的类比.

 

 

 

 

 

3.（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：

（1）∠AEB的度数为             ；

（2）线段BE之间的数量关系是                  。      

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。        

（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

数学方法：在一线三等角的基本几何图形中， ①如果有边相等，有“≌”； ②如果没有边相等，有“∽”.数学思想：类比

 

 

类比、拓展探究专题

                        下冶二中 蔡蕊

初露锋芒：阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图1中∠APB的度数等于______．

解题感悟：                                                      

                                                 

设计意图:本题主要是给第二道题做铺垫的，因为第二题中旋转的性质是解题重要的一步，所以这道小题让学生们提前感悟旋转的性质。

本题引导学生3,4,5,是一组很常见的勾股数，那么

问题1：如何将这三条边整合到一个三角形中呢？这时学生会想到旋转。

问题2：怎么旋转？旋转多少度合适？旋转到哪个位置呢？这时学生结合图形和条件，由边的关系角的关系得到结论。

总结升华：为什么要旋转？因为旋转能将线段整合到一个三角形中，从而方便解题。提醒学生：旋转的位置和角度依据题目决定，另外旋转之后及时利用旋转的性质得到结论。                             

牛刀小试：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90 °，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据　   　，易证△AFG≌　      　，得EF=BE+DF．

 

解题感悟：                                       

                                                

设计意图：类比探究的第一题，现在来看，有了上面第一题的提示，那么这一问的提示是否可以省略呢？提示学生：要证明三条线段之间的关系，有两条都不在一起，那么

问题1：不在一个三角形中的两条线段怎么才能在一起呢？

问题2：观察图形，怎么旋转？旋转的角度呢？

问题3:旋转之后，F,D,G这三点该注意什么？

总结升华：本题的难点在于做题之前的构图，如何利用旋转做出辅助线，做出的辅助线能帮助我们得到什么有用的结论，然后利用全等证明即可。这就要求学生在平时的做题中要大胆构思，大胆猜想。同时旋转一类的题目在中考中也很常见，所以在平时要多加训练和强化。         

（2）类比引申:如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　           　时，仍有EF=BE+DF．

解题感悟：                                       

                                                 

设计意图:第二题是类比第一题来做，学生如果第一问掌握得好的话，那么这道题会很轻松就可以完成。本题主要是强化第一题的做法和思路。

总结升华：完成这两道题让学生进一步体会旋转在解题中的应用，同时注意三点共线的证明。类似22题这样的大题，注意让学生通过观察图形以及题目中的条件，看是否有共同点，从而利用通法来解题。

（3）联想拓展:如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，EC=2则DE的长是多少？

设计意图：本题为类比探究的最后一题，原则上和前两问的思想及方法都类似，但是这两年的中考题的最后一道虽形似，但又有所不同，需要学生去认真思考并稍微拓展。提示学生：

问题1：类比第一二问，依旧求出这三条线段之间的关系，方法呢？

问题2：旋转之后，你发现了什么？这三条线段跟前面的两道有何不同？为什么？

问题3：类比着前两题，这两个三角形还全等么？自己构图完成本题。

 

总结升华：近几年的中考22题，考察的都是这种类比探究的题目，需要学生们掌握的就是仔细观察图形，找出解题关键，发现前两题的关联和关键所在，为拓展的第三题做铺垫。

   几何图形中的类比探究

五龙口二中   牛苗苗

一、知识点睛：

1、   类比探究是共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一

般情形（或由简单情形到复杂情形），逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主。

2、“类比探究”类型题的特点：

   ①  图形结构类似

②  问题类似

 ③  常含探究、类比等关键词

3、解决类比探究问题的一般方法：

（1）根据题干条件，结合 ____________先解决第一问；

（2）用解决___________的方法类比解决下一问； 如果不能，____________起来分析，找出不能类比的原因和不变的特征，依据______________，探索新的方法。

二、例题解析：

（1）操作发现：
     如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：
     如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

设计意图：

①考察到的数学知识有：折叠、全等三角形的判定、矩形和平行四边的性质、等角对等边；

②图形由矩形→平行四边形，体现了由特殊到一般的数学思想；

③两道小题问题一样，条件基本一致，改变的只有：矩形→平行四边形。大多数同学证明线段相等，都会选择通过证明全等来证明（也有少数学生会直接利用“等角对等边”证明），但是在类比第一问的方法解决第二问的时候，会发现由于直角三角形→一般三角形，无法利用HL证明三角形全等（这里也会有学生忽略这个问题，直接利用“边边角”证明三角形全等，可作为教学资源展示）。

引发学生思考：证明线段相等还有什么方法？进而联想到“等角对等边”，然后想到添加辅助线——连接CF，证明∠EFG=∠ECG，EF=EC，辅助证明∠CFG=∠FCG，最终得到“GF=GC”。第一问解决后，“照搬”第一问的方法、辅助线，解决第二问；

 ④通过这道题，让学生体会类比思想，图形虽然发生变化，但边与角之间的关系仍然能不变，改变的只是“特殊值”，从而掌握“照搬”思想解决类比问题。

三、归纳总结：

※ 解题关键词——照搬：

   即照搬上一问的方法、思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。也就是知识的迁移。

四、学以致用：

如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若 ，求 的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________， 的值是      ．

 

 

 

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若 （m＞0），则 的值是      （用含m的代数式表示），试写出解答过程．

                                         

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若 （a＞0，b＞0），则 的值是      （用含a、b的代数式表  示）．                         

                                    

                                 

设计意图：

①考查的数学知识：平行四边形的性质、中位线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形（常用）；

②图形由平行四边形→梯形，→，均体现了由特殊到一般的思想；

③有了上一题的经验，第一问解决后，“照搬”辅助线、字母、方法和思路解决第二问。对于第三问，虽然图形改变了，但是仍然存在一二问的平行及相似，难点在于：引导学生“照搬辅助线”（也要照搬字母）——过点E作EH∥AB交BF(BG与BF在同一条直线上)于点H。

课后练习：

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。

填空： ① ∠AEB的度数为            ；

       ② 线段AD、BE之间的数量关系是            。

                 

（2）拓展探究

   如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角角形， ∠ACB=∠DCE=90⁰, 点A、D、E在同一直线上，CM为△ DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题      

如图3，在正方形ABCD中，CD=      。若点P满足PD=1,且∠BPD=90⁰，请直接写出点A到BP的距离。