马芯兰老师根据儿童年龄特征和数学知识的特点，深入改革教材教法，创造了“新的数学教学法”——马芯兰数学教学法。我们经过学习与研究，马芯兰数学教学法，有下面几个主要特色：

（一）以思维为中心，抓概念教学，构建学生良好的知识结构。

数学概念反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性，它是思维的形式。我们知道，概念的形成、理解和运用，都是思维加工的结果，每一个概念都蕴含着思维方法。但是人们往往只重视思维的结果——概念的本身，而忽视它的过程——思维方法。马老师教学的最大特点，就是不停留在把知识（概念）作为结果，而是充分揭示概念所蕴含的思维方法、思维过程，紧紧地抓住教学的本质，抓住思维训练、思维过程进行概念教学。

1、抓住基本概念教学，把最基本的起决定作用的概念、法则、原理放在教学的中心位置。概念分基本概念和一般概念，基本概念概括性强，它蕴含的思维方法，可以运用（迁移）到具有共同思维方法的其他概念（一般概念）中去，使后学的知识变得容易接受和理解，这样就可以起举一反三、以一带十的作用。例如：“份”的概念是乘除知识、倍的知识、分数知识、比和比例知识及解答一些较复杂的分数应用题的基础。从二年级乘法意义的认识开始建立“份”的概念。在学习后续有关知识时，都是把“份”放在核心地位，不断理解、运用、深化，从而对“份”的认识进一步发展，一直学到小学数学知识的最后阶段。整个过程中，“份”一直起作用。

2．抓知识间内在联系，构建学生的知识结构。

数学知识的内在联系是紧密的，一般形成一个结构严密的整体。马老师在教学中注意从整体结构中研究每一局部知识在结构中的地位和作用以及其间的内在联系。她善于从思维因素（思维材料、思维方法）中来把握这种内在联系，使知识形成有纲有目、有主有次、纲目清楚的结构——知识的网络，从而给迁移创造了条件。

如：以“和”的概念，建立知识的网络。“和”这个概念是小学数学知识的核心。在学生学习“10以内数的认识”时，就开始以渗透的手段逐步建立“和”的概念。通过渗透“和”的概念，学习“10以内数的认识”、“加、减计算”、“理解加减关系”、“加减求未知数”、“简单应用题的结构”、“弄清求和、求剩余应用题结构”。当出现两个或两个以上加数都一样的时候（5 4 5 5 5 5 5）开始认识“相同加数”、“相同加数个数”，过渡到学习“乘法意义”。以此为概念的核心理解乘法口诀及其意义，学习有关乘、除法应用题及计算。

从“和”的概念中还可以引出两个不等的数量相比较而出现的“同样多”、“差”的概念，较大数是由和较小数（同样多的数）还有比较小数多的数合并起来的，“较小数”、“差”是相当于较大数里的一部分。同时理解有关“差”的应用题的数量关系。

若“差”出现了和较小数同样多，则引出“倍”这一核心概念。较大数里面有若干和较小数同样多的数，较小数为一倍，较大数是较小数的若干倍。又以“倍”为核心理解“倍”的应用题的数量关系。

反之，以较大数为一倍数，较小数是较大数若干份中的几份，较小数是较大数的几分之几。这样以“份”、“分数意义”为核心学习“分数应用题”、“计算”、“百分数”、“比的应用题”、“比例应用题”。

这样就以“和”的概念为核心把小学数学的大部分知识连成有机的网络。

3．通过知识的“渗透”，促进知识的迁移。

我们《发展形象思维的理论研究和教学实验课题组》研究认为，新旧两种知识、经验（即两种学习情境），若具有共同的思维材料或共同的思维规律、方法，就能实现迁移；如果共同的思维材料、规律、方法越多，迁移的程度就越大。所以知识的迁移是通过思维实现的。

数学教材虽然知识联系紧密，但是从思维来说，有的新旧知识之间存在思维不连贯、可操作性差的缺点，成为学生学习的难点。马老师创造了提前进行适当的知识或方法的“渗透”或铺垫，给新旧知识搭建思维的桥梁，促进知识顺利迁移，教学难点也就不存在了。

由此可见，马老师在概念教学、知识内在联系和知识的渗透中，突出了以思维为中心这条主线。

（二）在基本概念和技能基础上，通过思维训练，培养数学能力和创新能力。

一般地说，数学能力是指在一定问题情境中，运用数学方法，提出问题、分析问题、解决问题的能力。“在科学研究中成功地运用数学方法的关键，就在于针对所研究的问题提炼出一个适合的数学模型，这个模型既能反映问题的本质，又能使问题得到必要的简化，以利于展开数学推导。”（中国大百科全书·哲学中国大百科全书出版社.1987.上海.822页）

马老师在数学教学改革中，根据数学这门学科的特点，在基础知识、技能基础上，通过高水平的、综合的思维训练，创造性的形成一套培养数学能力和创新能力的途径和方法。这套方法在国内是首创，在中小学中具有普遍意义，是马芯兰教学法中最具特色的部分。其主要途径有：

1、在获取信息方面

在学生通过读题，了解问题信息以后，学生首先要能识别问题，了解问题类型、性质；接着能掌握数学问题的结构。

①把解应用题和基本概念教学紧密结合起来，进行思维概括化、类化的训练，

使学生读了题目，就能识别问题类型。

马老师把小学11类应用题，从思维方法特点上，归纳为四大类问题。即把教材中属于每份数、份数和总数的数量关系的“求相同加数的和”、“等分除”和“包含除”的内容编为一“块”；把原教材中属于部分数与总数关系的“求和”“求剩余”的内容编为一“块”；把属于两数差关系的“求两个数相差多少”、“求比一个数多几的数”和“求比一个数少几的数”的内容编为一“块”；把属于倍数关系的“求一个数的几倍是多少”、“求一个数是另一个数的几倍”和“求一倍数”的内容编为一“块”。然后以基本的概念、法则为中心，一块一块地进行教学。例如，“求两个数相差多少”、“求比一个数多几的数”和“求比一个数少几的数”这一小块为内容，“同样多”和“差”的概念就是学习这三大类题的基本概念。

这种把应用题归结为四大类，突出基本概念教学，把基本概念和解题训练结合起来，就是解题的思维概括训练。马老师还在二步应题和多步应题中，进行一题多变的系统训练，和问题变式的系列训练，这种系统归类训练，大大提高学生识别问题的能力。

②通过思维训练，培养学生掌握数学问题结构

什么叫数学问题结构？通常人们在解答一个问题之前必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已知条件和要求，初步的研究条件之间的关系、条件与问题之间的关系，抓住问题中的具有本质意义的那些关系，这就是抓住了“数学问题的结构”。“能力强的学生拿到一道数学题时，一眼就看到问题的结构，就能把已知条件和问题联系起来。”马老师在教一步应用题时，就着重抓住了数学问题结构的训练，如画线段图的训练；补充问题与条件的训练；题意不变，叙述方法改变的训练；自编应用题的训练；根据问题说出所需条件的训练；对比训练等。在讲两步应用题时，重点上了两步应用题的“结构课”，同时进行变直接条件为间接条件，变换问题，让学生扩题、缩题、拆题、看问题添条件等五个方面的训练。讲多步复合应用题时，又进行了多步应用题的“发散思维课”及相应的各种训练。通过一系列的教学和训练，使每个学生掌握了分析、研究应用题结构的能力，取得了明显的效果。

2、在分析问题，解决问题方面

①解题思路训练。应用题之所以难学，问题本身一般比较复杂是一个原因，但从教学法来说，更重要的是解题思路（思维过程的顺序、步骤与方法）缺少应有的训练，使许多学生拿到问题无从下手，不知怎样去想。对于这一点，我们只要把它同计算题作一比较就清楚了。解计算题时，学生根据运算法则，计算的顺序、运算的步骤都是清清楚楚的，学生思维过程同运算顺序也是一致的，计算的每一步都书写出来，看得见，摸得着，计算的对与错一目了然，通过训练学生容易掌握。而解应用题则不同，学生要了解题意，分析条件与条件之间，条件与问题之间各种数量关系，要分析、综合，找到解题的途径与方法。从审题到列出式子，思维过程少则几步，多则几十步，都是用内部语言的形式进行的。这种内部语言进行的思维过程，教师既无从知道它是否合理、正确、有无错误，又没有加以训练。对于这样一个前人没能很好解决的关键性问题，马芯兰在解题教学中设计了一套教学方法，使学生的解题思维过程由内隐到外化，有计划有步骤的训练学生的解题思路，这是对应用题教学的一个重大突破。下面是她的训练方法。

读题。通过读题使学生理解题中的情节和事理，知道题中讲的是什么事；已知条件中，哪个是直接条件，哪个是间接条件，问题是什么，条件与条件，条件与问题是什么关系。读题的过程，就是了解题意的过程。

画批。就是把题中的重点词、句和思维分析、判断的结果，用文字、符号（箭头、着重点、圆圈、横直线、曲线等）表示出来，其主要的目的是为了了解每个数量的意义及数量间的内在联系。

画图。一般是画线段图，用线段把题中所讲的各个数量及其相互关系表示出来。直观地、形象地反映应用题的数量关系。

说理。说理就是在分析解答应用题的过程中，让学生用清楚、简洁、准确的语言，说出自己分析解答应用题的思维过程及相应的道理。

通过读、写、画、说，学生把解题的内在思维过程，变为外在的表现形式，这就是非常有利于训练，培养学生解题过程思维的有序性和合理性，有利于培养学生的逻辑思维能力。

②思维灵活性、创造性的训练

在解题思路训练基础上，对问题的分析、综合、联想、想象等思维方法进行综合的思维训练，采取联想，发散训练等方法，培养思维的灵活性、创造性。

联想是指由一个事物想到另一事物，由另一事物想到又一事物的心理过程。丰富的联想，能使思维更加活跃，从多方面多角度去思考问题。发散思维训练，是一种自由联想，就是培养学生从不同角度、不同方向、不同途径去寻找多种可能性，培养学生从正向思维转向逆向思维，从一种心理运算转到另一种性质不同的心理运算，从而有效地找到新颖的、最佳的方法。所以说，发散思维训练是培养思维灵活性、创造性的好方法。运用发散的思维训练，可以举一反三、触类旁通，培养学生思维的独立性、变通性和流畅性。

马老师通过让学生自编应用题、扩题、缩题、补充问题条件、一题多解、一题多变、上发散思维课等多种方式，进行思维综合训练。

3、创新能力的培养

马老师根据几十年培养数学能力的经验，对小学生创造性学习的概念、特征及其形成与发展进行研究与实践，把能力的发展与创新能力的培养联系起来。

前面说过，创造性思维是创造过程中的思维活动，它主要是两种思维（抽象思维和形象思维）新颖的灵活的有机的结合。我们认为，在学生能力形成中，那些由学生独立思考发现的具有新颖性、灵活性的方法、成果，就是一种创新能力。

因此，培养能力的方法的同时，马老师开辟了一条由培养能力到创新能力的途径，这就是：

技能 能力 创新能力