初中数学中的折叠问题

折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。其实对于折叠问题，我们要明白：

    1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解；或运用相似三角形性质求解；或用解直角三角形知识求解。

现对在初中数学中经常涉及到的三角形的折叠、矩形（正方形）的折叠、其他四边形的折叠、圆的折叠、抛物线的折叠的典型问题进行讲解，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

 

一．三角形中的折叠

    三角形中的折叠考点有：三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形性质、线段垂直平分的性质和判定、三角形的中位线、相似三角形的性质、解直角三角形等。

 

1. （2012广东梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【    】

 

　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。

【分析】法一：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。故选A。

  法二：连接A A′,可证∠1+∠2=∠CAB+∠E A′D=75°+75°=150°

2．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　）

 

A．

25°

B．

30°

C．

35°

D．

40°

 

考点：	翻折变换（折叠问题）．3718684
分析：	先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答：	解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°， ∵△CDB′由△CDB翻折而成， ∴∠CB′D=∠B=65°， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D．
点评：	本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

3.2013 烟台中考17题

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　　度．

               

 

考点：	线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：	连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答：	解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°， ∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°， ∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36°， 在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°． 故答案为：108．
点评：	本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．

 

4. （2012湖南岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=　　．

 

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题）。运用勾股定理解决 

【分析】法一，如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，

∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

∴。

∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2。

设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，

在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=。∴BD=。

法二，根据△CED∽△CBA，对应边成比例求DE长，从而求出BD长。

法三，根据三角函数求DE长，从而求出BD长。

 

5.2013 资阳中考   

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　  　．

 

 

 

 

 

考点：	轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
分析：	连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，先求出BC和BE长，代入求出即可．
解答：	解：连接CE，交AD于M， ∵沿AD折叠C和E重合， ∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD， ∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1， ∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BE+BC， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE=，BD=，  即BC=1+， ∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠CAB=30°， ∴AB=2BC=2×（1+）=2+， AC=BC=+2， ∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=， ∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+， 故答案为：1+．
点评：	本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，，关键是求出P点的位置, 应用含30度角的直角三角形性质解决问题，题目比较好，难度适中．

 

6. （2012内蒙古包头）如图，将△ABC 纸片的一角沿DE向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE∥BC ，下列结论：

① ∠AED＝∠C；

② ；

③ BC= 2DE ；

④ 。

其中正确结论的个数是      个。

【答案】4。

【考点】折叠问题，折叠对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。

【分析】①∵DE∥BC，∴根据两直线平行，同位角相等，得∠AED＝∠C。∴①正确。

        ②∵根据折叠对称的性质，A ′D=AD，A ′E=AE。

          ∵DE∥BC，∴根据两直线分线段成比例定理，得。∴。∴②正确。

        ③连接A A ′，

∵根据折叠对称的性质，A ，A ′关于DE对称。

∴A A ′⊥DE。

∵DE∥BC，∴A A ′⊥BC。

∵A ′D=AD，∴∠DA A ′＝∠D A ′A。

∴∠DB A ′＝∠D A ′B。∴BD= A ′D。∴BD=AD。

∴DE是△ABC的中位线。∴BC= 2DE。∴③正确。

④∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE。

  ∵由③BC= 2DE，∴。

∵根据折叠对称的性质，△ADE≌△A′DE。∴。

∴，即。∴④正确。

综上所述，正确结论的个数是4个。

 

7. 2013上海中考

如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为　　．

   

 

考点：	翻折变换（折叠问题）．3824674
专题：	压轴题．
分析：	首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．
解答：	解：过点A作AQ⊥BC于点Q， ∵AB=AC，BC=8，tanC=， ∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6， ∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处， 过B′点作B′E⊥BC于点E， ∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2， 设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x， ∴x2=（6﹣x）2+32， 解得：x=， 直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．  故答案为：．
点评：	此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．

8. （2012河南省）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为           

 

【答案】1或2。

 

 

9.2013 潍坊中考  

如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.

答案：3.2

解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC2= AB2-BC2 = 102-62=64，∴AC=8。设AD=2x，

∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，

∴AE=DE=DE1=A1E1=x，

∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ，

即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，

在Rt△DE1F中，E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 ，

又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1•BE1，

即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2．

考点：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换，折叠，勾股定理，相似三角形的对应边成比例.

点评：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．

 

 

二、矩形、正方形中的折叠 

类型（一）沿对角线折叠

 

 

 

 

 

 

基本图形 :全等三角形  相似三角形   等腰三角形  等腰梯形

多根据直角三角形运用勾股定理解决问题。

1.   2013 （湖州中考）

如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（　　）

 

A．

B．

C．

D．

 

考点：	矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：	根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
解答：	解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处， ∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠EAC=∠DCA， 设AE与CD相交于F，则AF=CF， ∴AE﹣AF=CD﹣CF， 即DF=EF， ∴=，又∵∠AFC=∠EFD， ∴△ACF∽△EDF， ∴==， 设DF=3x，FC=5x，则AF=5x， 在Rt△ADF中，AD===4x， 又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x， ∴==． 故选A．
点评：	本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

2. （2012广东省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

 

【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

  ∴∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C′，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，

∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=。

∴。

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。

∴tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。

∵EF⊥AD，AB⊥AD，∴EF∥AB ，又∵EF平分AD ，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=AB=×6=3。

∴EF=EH+HF=。

【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。

【分析】（1）根据翻折变换的性质和矩形的性质可知∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

 

类型（二）折痕过顶点，对应点落在一边上

 

基本图形 ：全等三角形    相似三角形

解决问题方法，根据勾股定理或用相似三角形性质解决。

1．（2012黑龙江）如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC的 面积为       

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，BC=AD=8，CD=AB。

∵△AFD的面积为60，即AD•AF=60，解得：AF=15。

∴。

由折叠的性质，得：CD=CF=17。∴AB=17。∴BF=AB－AF=17－15=2。

设CE=x，则EF=CE=x，BE=BC－CE=8－x，

在Rt△BEF中，EF2=BF2＋BE2，即x2=22＋（8－x）2，解得：x=，即CE=，

∴△DEC的面积为： CD•CE=×17×。

 

2.（2012山东菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．

 

【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标。在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标。

 

【答案】依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，

∴CE=4，∴E（4，8）。

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD，∴（8﹣OD）2+42=OD2。∴OD=5。∴D（0，5）。

【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理。

 

3.  2013  泸州中考  

如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=3/4，那么该矩形的周长为（　　）

A．

72cm

B．

36cm

C．

20cm

D．

16cm

 

考点：	矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：	根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=，设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．
解答：	解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF， ∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°， ∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∵tan∠EFC=， ∴设BF=3x、AB=4x， 在Rt△ABF中，AF===5x， ∴AD=BC=5x， ∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x， ∵tan∠EFC=， ∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=1.5x， ∴DE=CD﹣CE=4x﹣1.5x=2.5x， 在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2， 即（5x）2+（2.5x）2=（10）2， 整理得，x2=16， 解得x=4， ∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm， 矩形的周长=2（16+20）=72cm． 故选A．
点评：	本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．

4.（2013日照）

如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.

 

答案：

解析：半圆的半径为3，所以，AB＝CD＝3，D＝AD＝6，

C＝3，B＝6－3，设AE＝x，在直角三角形EB中，

（3－x）2＋（6－3）2＝x2，解得：x＝12－6，tan∠ADE＝，所以，∠ADE＝15°，∠ADF＝30°，∠AOF＝60°，

S半圆AD＝，S扇形AOF＝，

S△DOF＝，

所以，阴影部分面积为：

 

类型（三）折痕过顶点，对应点落在矩形内（或在对角线上）

1.（2012四川达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为        .

 

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。

【分析】设BD与EF交于点O。

∵四边形BEDF是菱形，∴OB=OD=BD。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°。

 设CD=x，根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，

在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。

∴AB=CD=。

可以解直角三角形

2.（2012福建南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【    】

 

A．    B．    C．    D．3 

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。

【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。

根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。

设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。

在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。

∴DF= ，EF=1＋。故选B。

 

3.2013连云港 

在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；

（2）若四边形BFDE为为菱形，且AB=2，求BC的长．

 

 

考点：	矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
分析：	（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可． （2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
解答：	（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处， ∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF= ∠CDB， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形BFDE为平行四边形；   （2）解：∵四边形BFDE为为菱形， ∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABE=30°， ∵∠A=90°，AB=2， ∴AE==，BE=2AE=， ∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．
点评：	本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

 

4. （河南2013）  如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，的长为       

 

【解析】

①当时，由题可知：,即：在同一直线上，落在对角线上，此时，设，则，，在Rt△中，解得

②当时，即落在上，，此时在RtAD，中，

斜边大于直角边，因此这种情况不成立。

③当时，即落在上，此时四边形是正方形，所以

【答案】

类型(四）折痕不过顶点

 1.将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1=      度；△EFG的形状    三角形．

【考点】折叠问题矩形的性质，平行的性质。

分析：∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称

∴∠2 = ∠3 = 64°

∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52°

∵AD∥BC

∴∠1 = ∠4 = 52°

∠2 = ∠5

又∵∠2 = ∠3

∴∠3 = ∠5

∴GE = GF

∴△EFG是等腰三角形

对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF

 

2.如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）

 

 

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=20°，

在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，

在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，

 

本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG

 

         

3.（2013南充中考）  如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是        （   ）

A.12              B. 24              C. 12           D. 16

 

答案：D

解析解析：由两直线平行内错角相等，知∠DEF＝∠EFB=60°，又∠AEF=∠EF＝120°，所以，∠E=60°，E＝AE＝2，求得，所以，AB＝2，矩形ABCD的面积为S＝2×8＝16，选D。

 

4.  （2012山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【    】

 

　　A．9：4　　B．3：2　　C．4：3　　D．16：9

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。

∵点B′为CD的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。

在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即，解得：，即可得CF=。

∵∠DB′G+∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F，又∵∠D′=∠C=90°∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。

根据面积比等于相似比的平方可得： 。故选D

 

5.（2012广东深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

 

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。

由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。

∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形AFCE为菱形。（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：

由折叠的性质，得：CE=AE。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。

∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。

在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平行的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。

（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一）

6.（2012广西南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

 

【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。

又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。

（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，

△AED的外接圆与BC相切于点N，

∴ON⊥BC，∴ON∥EC∥AB

又∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。

∴点N是线段BC的中点。

（3）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。

∴OM＝BN＝BC＝1

令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），

∵AM＝AB－MB＝4－x

在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2

即x2=(4-x)2+12

解之得：x＝

∴AM＝4－＝

又∵Rt△AOM∽Rt△EFO

∴＝   即＝

∴OF＝    ∴FG＝2OF＝ 

解法二：延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4

令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），

∵OH＝4－x

在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2

即x2=12 +(4-x)2 

解之得：x＝

∴HO＝4－＝

又∵Rt△AOH∽Rt△EFO

∴＝

即：＝

∴OF＝   

 ∴FG＝2OF＝  

 

 

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而

判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。

（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。

7. （2012山东德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

 

【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。

又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。

（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：

如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。

又∵AB=BC，∴BC=BQ。

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。

又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。

又∵∠A=∠EMF=90°，AB=MF，∴△EFM≌△BPA（ASA）。

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。

∴。

又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴。

∵0＜x＜4，∴当x=2时，S有最小值6。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。

（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。

 

三、其他四边形折叠

1. （2012河北省）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【    】

 

A．70°      B．40°      C．30°      D．20°

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。

∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。

∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。

∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。故选B。

2.  2013  南京中考

如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， ÐA=120°，则EF=      cm。

 

答案：

解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为AB中点，AE＝1，ÐEAO=60°，EP＝，所以，EF＝

3.2013 兰州中考 

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

 

考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；

（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．

解答：（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，

∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，

∴∠AEO=60°，

又∵△OBC为等边三角形，

∴∠BCO=∠AEO=60°，

∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°，

∴CO∥AB，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，

在Rt△ABO中，

∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，

∴AO=BO•cos30°=8×=4，

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，

x2+（4）2=（8﹣x）2，

解得：x=1，

∴OG=1．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．　

 

4.（2013浙江台州）如图,在□ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B′,C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG,B′G.

求证：（1）∠1=∠2

（2）DG=B′G

 

【答案】证明：在□ABCD中,AB∥CD,

∴∠2=∠FEC.

由折叠,得∠1=∠FEC,∴∠1=∠2.

（2）由（1）知：∠1=∠2,

∴EG=GF.

∵AB∥CD,∴∠DEG=∠EGF

由折叠,得EC′∥FB′,

∴∠B′FG=∠EGF

∴∠B′FG=∠DEG

∵DE=BF=B′F,

∴DE=B′F.

∴△DEG≌△B′FG

∴DG=B′G.

5. （2012山东威海）

（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F     求证：AE=CF。

 

（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。

    求证：EI=FG。

 

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。

                   又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。

                  ∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AE=CF。

             （2）由（1）得，AE=CF。

                  ∵由折叠性质，得AE=A1E，∴A1E=CF。

                  ∵∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，

                  ∴∠EIA1=∠DIH=1800－∠D－∠DHI=1800－∠B1－∠B1HG=∠B1GH=∠FGC。

                  在△EIA1和△FGC中，∵∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC，A1E=CF，

                  ∴△EIA1≌△FGC（AAS）。∴EI=FG。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质， 三角形内角和定理，对顶角的性质。

【分析】（1）要证AE=CF，只要△AOE和△COF全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行线内错角相等的性质，可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC。从而根据AAS可证。

      （2）要证EI=FG，只要△EIA1和△FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=CF；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC。从而根据AAS可证。

 

四、圆中的折叠

1．2013盐城中考   

如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB=　30°　．

 

 

考点：	垂径定理；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
专题：	探究型．
分析：	过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，再由将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O可知，OD=OC，故可得出OD=OA，再由OC⊥AB即可得出结论．
解答：	解：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， ∵将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O， ∴OD=OC， ∴OD=OA， ∵OC⊥AB， ∴∠OAB=30°． 故答案为；30°．
点评：	本题考查的是垂径定理及图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

 

2．如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　）

 

 

 

 

 

 

 

 

解：延长CO交AB于E点，连接OB，

∵CE⊥AB，

∴E为AB的中点，

由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，

DE = 2(1)(8×2 - 4) = 6

OE=6-4=2，

在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：BE=, ∴AB = 

 

注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解

 

3．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是多少？

 

 

 

 

 

 

 

连接CA、CD；

根据对称的性质，得：  = 

∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；

∵∠CDA=∠CBD+∠BCD，

∴∠CAD=∠CDA，∴AC=CD,过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；

∴BE=BD+DE=9.5；

在Rt△ACB中，CE⊥AB，△ABC∽△CBE，得：

BC2=BE•AB=9.5×12=114；

故BC= 

此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD是等腰三角形，是解答此题的关键

 

 

4. .2013资阳中考   

（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

 

 

考点：	垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．
分析：	（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解； （2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
解答：	解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E， 则AE=AC=×2=1， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OE=r， 在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2， 即r2=12+（r）2， 解得r=； （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角， ∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．
点评：	本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．

五．抛物线的折叠

例（2012湖南益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．

（1）求原抛物线的解析式；

（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）

 

【答案】解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，﹣3）。

∵抛物线y=a（x﹣1）2+c顶点是P（1，﹣3），

∴抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣3。

∵抛物线y=a（x﹣1）2﹣3过点A，

∴a（﹣1）2﹣3=0，解得a=1。

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2。

（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，∴C、D两点纵坐标为3。

由（x﹣1）2﹣3=3，解得：。

∴C、D两点的坐标分别为。∴CD=。

∴“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）。

【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。

（2）根据已知求出C，D两点坐标，从而得出“W”图案的高与宽（CD）的比