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辅导科目：                                           

数学

培训师：

束老师

课次数：

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课     题

乘法巧算心算

授课时间：

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教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

乘、除法的运算律和性质

　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。

　　1.乘法的运算律

　　乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即

　　a×b=b×a。

　　其中，a，b为任意数。

　　例如，35×120=120×35=4200。

　　乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即

　　a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

　　注意：

(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。

(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有

　　a×b×c=b×(a×c)等。

例1计算下列各题：

(1)17×4×25； (2)125×19×8；

(3)125×72；   (4)25×125×16。

　　乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即

　　(a+b)×c=a×c+b×c，

　　(a-b)×c=a×c-b×c。

例2计算下列各题：

(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25；(3)2004×25；    (4)125×792。

 　　2.除法的运算律和性质

　　商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即

　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)

　　=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)

例3计算：

(1)425÷25；(2)3640÷70。

两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即

　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c。

　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，

　　(9-6)÷3=9÷3-6÷3。

　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如

　　(1000-688-136)÷8

　　=1000÷8-688÷8-136÷8

　　=125-86-17=22。

在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即

　　a÷b÷c=a÷c÷b。

　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，

　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……

例4计算下列各题：

(1)(182+325)÷13；

(2)(2046-1059-735)÷3；

(3)775÷25；

(4)2275÷13÷5。

　　3.乘、除法混合运算的性质

(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，

　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。

(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：

　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即

　　a×(b×c)=a×b×c，

　　a×(b÷c)=a×b÷c。

　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即

　　a÷(b×c)=a÷b÷c，

　　a÷(b÷c)=a÷b×c。

　　添加括号情形：

　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即

　　a×b×c=a×(b×c)，

　　a×b÷c=a×(b÷c)，

　　a÷b÷c=a÷(b×c)，

　　a÷b×c=a÷(b÷c)。

(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即

　　(a×b)÷(c×d)

　　=(a÷c )×(b÷d)

　　=(a÷d)×(b÷c)。

　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。

例5计算下列各题：

(1)136×5÷8

　　=136÷8×5

　　=17×5=85；

(2)4032÷(8×9)

　　=4032÷8÷9

　　=504÷9=56；

(3)125×(16÷10)

　　=125×16÷10

　　=256×4

(4)2560÷(10÷4)

　　=2560÷10×4

　　＝1024；

(5)2460÷5÷2

　　=2460÷(5×2)

　　=2460÷10

　　=246；

(6)527×15÷5

　　=527×(15÷5)

　　=527×3

　　=1581；

(7)(54×24)÷(9×4)

　　=(54÷9)×(24÷4)

　　= 6×6=36。

练习20

　　用简便方法计算下列各题。

　　1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。

　　2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。

　　3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。

　　4.(1)(128+1088)÷8；

　　(2)(1040-324-528)÷4；

　　(3)1125÷125；

　　(4)4505÷17÷5。

　　5.(1)384×12÷8；

　　(2)2352÷(7×8)；

　　(3)1200×(4÷12)；

　　(4)1250÷(10÷8)；

　　(5)2250÷75÷3；

　　(6)636×35÷7；

　　(7)(126×56)÷(7×18)。

 乘法中的巧算

　　上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。

　　1.乘11，101，1001的速算法

　　一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

　　a×11=a×(10＋1)=10a＋a，

　　a×101=a×(101＋1)=100a＋a，

　　a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。

　　例如，38×101=38×100＋38=3838。

　　2.乘9，99，999的速算法

　　一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

　　a×9=a×(10-1)=10a-a，

　　a×99=a×(100-1)=100a- a，

　　a×999=a×(1000-1)=1000a-a。

　　例如，18×99=18×100-18=1782。

　　上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。

例1 计算：

(1) 356×1001

　　＝356×(1000＋1)

　　＝356×1000＋356

　　＝356000＋356

　　＝356356；

(2) 38×102

　　＝38×(100＋2)

　　＝38×100＋38×2

　　＝ 3800＋76

　　＝3876；

(3)526×99

　　＝526×(100-1)

　　＝ 526×100-526

　　＝ 52600-526

　　＝52074；

(4)1234×9998

　　＝ 1234×(10000-2)

　　＝1234×10000-1234×2

　　＝12340000-2468

　　＝12337532。

　3.乘5，25，125的速算法

　　一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

　　例如，76×25＝7600÷4＝1900。

　　上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。

例2 计算：

(1) 186×5

　　=186×(5×2)÷2

　　=1860÷2

　　=930；

(2) 96×125

　　=96×(125×8)÷8

　　=96000÷8=12000。

　　有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

例3 计算：

(1) 84×75

　　=(21×4)×(25×3)

　　=(21×3)×(4×25)

　　=63×100=6300；

(2)56×625

　　=(7×8)×(125×5)

　　=(7×5)×(8×125)

　　=35×1000=35000；

(3) 33×125

　　=32×125+1×125

　　=4000+125=4125；

(4) 39×75

　　=(32+1)×125 =(40-1)×75

　　=40×75-1×75

　　=3000-75=2925。

  乘法巧算种种

一、方法和技巧

“分析法”、“首同末合十”、“末同首合十”、“一同一合十”等是乘法桥算的基本方法。

典型例题

1.乘以11的巧算

【例1】  计算

(1)26×11      (2)78×11     (3)447×11

分析与解  (1) 方法①：26×11是求11个26是多少。可以先算10个26是多少，再加1个26就行了。即_________________________________________________

方法②：26×11，把26中的2和6分别作为积的头和尾，而把2和6两个数字相加的和放在中间：   2     6  ×11 = _____

         ___  ___  ___

(2)在78×11中，可以用上面的速算方法，

          7     8  ×11 = _____

        ___   ___   ___

☆ 通过观察发现了下列规律：一个两位数乘以11，可以把两位数的头和尾拉开，两数相____放中间(满10的前一位_____)

（3）根据上面的速算规律447×11可以这样算：

做一做1  用乘数是11的速算方法计算。

61×11      72×11     45×11     375×11    4501×11

2.分析法巧算

【例2】   计算  (1)428×99          (2)57×101

分析与解  (1)428×99就是求___个____是多少，如果先算出____个428是多少，再减去___个428，这样算就比较简单。

 (2)57×101是求___个____是多少，如果先算出____个57是多少，再加上___个57，就行了。

做一做2  用简便方法计算   (1)278×99       (2)148×99

3.“首同末合十”的乘法速算

如果两个数的个位之和是10(简称末合十)，其余各位数完全相同(简称首同)，这样的两个数叫做“首同末合十”。

【例3】  通过下面的几个实验，可以总结出这样的特殊的两位数相乘的速算方法。

            23×27 = ______         91×99= ________

分析与解  

23                                  91

       × 27                               × 99

小结  从上面对乘积进行的分析可以得出求积的速算方法：“末 ×末”得_________；“_______ ×_______”得积的_________

提问：“首同末合十”只能是两位数乘以两位数吗？是否适合三位数乘以三位数？

如果适合，113×117该怎么算？

做一做3  比比看，谁算的又快又准(直接写出乘积)？

（1）18×12              13×17               16×14

（2）27×23              28×22               21×29

4.“末同首合十”的两个两位数的乘法

如果两个两位数的个位相同(简称末同)，而十位数字之和为十(简称首合十)，这样的两个数叫做“末同首合十”。具有这种特点的两个数的乘法，也可以通过实例进行分析，找出便于运用的速算方法。

【例4】  21×81=____        87×27=_____

分析与解  

21                                  87

       × 81                               × 27

小结  从上面对乘积的分析可以得出速算方法：“末×末”得___________；“首×首+___”得积的___________。

做一做4  计算

21×81         61×41        51×51         24×84     36×76

提问：“末同首合十”只能是两位数乘以两位数吗？

5.一同一合十的两个两位数的乘法

    这里说的“一同”，是指一个两位数的个位与十位数字相同；“一合十”是指另一个两位数的个位与十位数字的和是10。

【例5】  46×99 =________        82×33 =__________

分析与解  

46                                  82

       × 99                               × 33

小结  由此可以看出它的速算方法：“末×末”得___________；{(一合十的首)+__}×（一同的首）得____________。

做一做5  计算

19×66        19×77        28×88         37×77          46×55

6.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

　　个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：

　　仿此同学们自己算算下面的乘积

　　35×35＝______ 55×55＝______

　　65×65＝______ 85×85＝______

　　95×95＝______

　　这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位

　　数相乘的计算，例如，

乘法巧算种种练习

计算

1.  326×11 =               538×11 =                765×11 =      

12345×11 =             4321×11 =               7892×11 =

2.  55×46 =                73×99 =                 82×99 =        

 55×77 =                 55×88 =                 55×99 =

3. 199×99                 72×101              125×102            560×101

=                       =                    =                   =

65×99                 85×101              132×102            475×101

=                       =                    =                   =

4.  71×79 =                76×74 =                 78×72 = 

   103×107 =               112×118 =               204×206 = 

5.  72×32 =                76×36 =                 57×57 =     

 58×58 =                59×59 =                 53×53 =

6.  12×18 =                24×26 =                 31×39 =    

  74×76 =                63×67 =                 48×42 =       

7.  28×11 =                95×11 =                 68×11 =       

 42×48 =                47×43 =                 46×44 =

8.  33×73 =               45×65 =                  94×14 =      

  22×37 =               33×64 =                 44×91 =