定义新运算

专题简析：

我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。

例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。

分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。

（1） 5△6=5×3－6×2=3

（2） 6△5=6×3－5×2=8

显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。

练  习  一

1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。

2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：

（1）（5*6）*7    （2）5*（6*7）

3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。

例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。

分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。

6⊕2=6×2＋6＋2=20

练  习  二

1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。

2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。

3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。

例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。

分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25

练  习  三

1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3。

2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。

3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。

例4：对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。

分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。

练  习  四

1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。

2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。

3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。

例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。

分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此规律：

7▽3=7×2＋3=17。

练  习  五

1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。

2，有一个数学运算符号“□”使下列算式成立：□，□，□。按此规律计算：□。

3，对于两个数a、b，规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31，计算：29▽57。