从具体到抽象 从基础到延伸

                                  ‑‑‑‑‑‑‑‑高三数学复习教学案例一则

      陈波（陕西省略阳县天津高级中学 724300）

发表于《数学教学》34期 

普通高中《数学课程标准》明确强调了高中数学教学要注意“体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则”．在新的课程理念之下，不断深入的课程改革让我们的数学教学发生着悄然无息而又积极本质的变化，课堂教学从教师的讲与学生的听变成了教师的引导与学生的自主探索，数学教学的课堂气氛也活跃了，学生的个性也得到了张扬．尤其在数学教学的新授课中，这样的理念得到充分体现，但由于高三数学复习内容多、节奏快，对学生思维要求高，因此高三数学复习教学又变成了教师一味地讲，学生不断地进行模仿式、机械式练习．

笔者认为新课程的教学理念在高三数学复习教学中仍不可忽视．特别是，高三数学复习阶段，我们常常会遇到一些由基础知识所延伸出的一些抽象的性质、结论、定理．而这些抽象的性质、结论、定理正是我们践行新课程理念的好素材，更是我们培养学生分析问题、归纳类比问题、发现问题以及创新问题能力的大好机会．经过高一、高二阶段的数学学习，学生具备了大量数学基础知识，在高三数学复习阶段，教师从学生已经具备的具体的数学基础知识或具体的数学问题入手，展现另一知识点或问题发生、发展过程，不仅能鼓励学生自主探索、合作交流，更能使学生对知识之间、基础知识与延伸知识之间以及相近或相似问题之间的区别与联系深入、系统地理解，也能使我们的复习教学达到事半功倍的效果．基于此，笔者将自己在高三数学复习教学中的一些做法以一则案例的形式展现如下，与广大同仁共勉．

高三数学复习中关于函数部分，我们常会见到下面两个结论：

结论1： 的图象可将 的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，其余部分不变．

结论2： 的图象，可先作出 时 的图象，再利用偶函数图象关于 轴对称作出 时的图象．

对于这两个结论，学生感觉是抽象的．如果教师在课堂上直接给出这两个结论，然后通过举例应用使学生理解这两个结论，那么学生很难本质地去理解这两个结论．

笔者思考，不妨从下面几个问题为流程来引导学生学习这两个结论：

问题1：试作下面四个函数的图象．

①       ②

③       ④

对于函数①，学生都能作出图象，如图1所示．

对于函数②、③、④的图象，先让学生自己尝试作图，并体会作图过程中思维的障碍点．之后，教师再提出问题．

问题2：对于函数②、③、④的图象，在作图过程中同学们感到困惑之处在哪？

经过教师与学生的交流、分析，多数学生认为这三个函数带有绝对值，这是阻碍大家顺利作出图象的障碍点．

问题3：能否去掉绝对值？

引导学生回顾初中所学过的关于绝对值的知识点 ．

此时，教师再引导学生对函数②、③、④去掉绝对值，得：

于是函数②、③、④转化成了分段函数进行作图．经过教师引导，学生实践操作，得函数②、③、④的图象分别如图2、图3、图4中实线部分．

在学生经历了问题1的求解过程后，教师引导学生观察图1、图2、图3、图4，进一步提出如下问题：

问题4：函数②的图象与函数①的图象有什么联系？

引导学生观察图2发现：

1、函数 与函数 的图象关于 轴对称．

2、函数 在 部分的图象与函数 在 部分的图象构成了函数②的图象．

进一步，发现只需将函数①的图象在 轴下方的部分关于 轴对称上去就可得到函数②的图象，由此可以抽象出结论1．

问题5：函数③的图象与函数①的图象有什么联系？

引导学生观察图3发现：

1、函数 与函数 的图象关于 轴对称．

2、函数 在 部分的图象与函数 在 部分的图象构成了函数③的图象．

进一步，发现只需将函数①的图象在 轴右侧的部分保留，并将 轴右侧的部分关于 轴对称到左侧，就可得到函数③的图象．由函数③的图象还可看出函数③是偶函数．再注意到函数 ，由此可以抽象出结论2．

通过对上述五个问题的思考探究，教师再引导学生交流思考并对函数②、③、④归纳为如下三种类型：

类型1  形如函数 ，例如函数②．

类型2  形如函数 ，例如函数③．

类型3  形如 与 结合而成的函数，例如函数④．

同时，对于这三种类型的函数图象作法总结如下：

共同作法：利用 去掉绝对值，从而把这三类函数都转化为分段函数进行作图．这也是作带有绝对值的函数的通法．

不同作法：关键要理解函数 的图象与函数 的图象之间的关系，因此对函数类型1而言，有其特有的作图方法，即结论1的应用．

关键要体会函数 的图象与函数 的图象之间的关系，因此对函数类型2而言，也有其特有的作图方法，即结论2的应用．

对于函数类型3的作图没有特有的作图方法，只能利用 去掉绝对值，从而转化为分段函数进行作图．

最后，教师再给出一道练习如下：

问题6：试作下面三个函数的图象．

①       ②       ③      

教学感悟：

案例中的两个结论是抽象的，笔者在学生已有的认知基础上，引导学生从具体的问题1入手，通过引导学生观察、操作、比较、归纳、交流等数学思维活动，让学生经历了从具体到抽象、 从基础到延伸的数学活动过程．同时，在这一过程中注意让学生感受解决问题受阻的思维点，教师再点学生受阻的思维点，学生的思维必然会有跳跃和提升．最后，问题6又是让学生感受抽象到具体的活动过程．高三数学复习过程中，深刻理解一些新知识与旧知识之间，具体问题与抽象问题之间的区别与联系显得非常重要，而新旧知识之间、具体与抽象之间因为存在“潜在距离”使得学生难以发现它们之间的区别与联系，这就需要教师在教学过程中合理架设“认知桥梁”以缩短这种“潜在距离”，才能有效地帮助学生本质地理解和掌握数学中一些抽象的性质、结论、定理．