合情推理典型例题、习题答案

例1．解析：猜想：

证明：左边=

= =右边

 

例2．解析：原问题的解法为等面积法，即 ，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高

 

例3．解析：因 都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多， ，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多

[来源:Zxxk.Com]

例4．

演练方阵

A档（巩固专练）

1．C

2．C

3．B

4．C

5．

6．

7． ；

8．答案：

 

9．[解析]（1） ， ，

为等差数列 为常数，所以 仍为等差数列；

 

（2）类比命题：若 为等比数列， （ ）， ，则 为等比数列

证明： ， 为 常数， 为等比数列

 

10．答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个 数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；

（2） ；

 

 

B档（提升精练）

1．A

2 ．B[来源:学#科#网Z#X#X#K]

3．C

4．B

5．解析：从所给有理数的排序规律可以发现，它们是由分子与分母的和依次为2,3,4，…的分数段“拼”成的．

因为分数的分子、分母和为3938，所以归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数．

故序号为(1＋2＋…＋3936)＋1949＝7749965.

答案：7749965

 

6．解析：这是一个由等差数列与等比数列类比的题目，由于二者的参照物不同，因此我们要先进行分析，从二者的本质即数列的结构找到突破口，如下表所示：

由题设，若a_k＝0，那么有a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋…＋a_2k－1－n(n<2k－1，n∈N^*)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：b₁b₂·…·b_n ＝b₁b₂·…·b_2k－1－n( n<2k－1，n∈N^*)成立．结合 本题k＝9，得2k－1－n＝17－n，故本题应填：b₁b₂·…·b_n＝b₁b₂·…·b_17－n(n<17，n∈N^*)．

答案：b₁b₂·…·b_n＝b₁b₂·…·b_17－n(n<1 7，n∈N^*)

 

7．解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：1³＋2³＋3³＋4³＋5³＝(1＋2＋3＋4＋5)²＝15².

答案：1³＋2³＋3³＋4³＋5³＝(1＋2＋3＋4＋5)²(或15²)

 

8．解析：图形①～④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝2²－3,5＝2³－3,13＝2⁴－3,29＝2⁵－3，因此可猜想第8个图形中的线段条数应为2^{8＋ 1}－3＝509.

答案：509

 

9．解析：(1)对于 ，令 得 <</FONT>

(2)    ,所以g(x)∈M

 

10．解：由①②可看出，两角差为30° ，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.

猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α ，

sin²α＋cos²β＋sinαc osβ＝，

也可直接写成sin²α＋cos²(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.

下面进行证明：

左边＝＋＋sinαcos(α＋30°)

＝＋＋sinα(cosα·cos30°－sinαsin30°)

＝－cos2α＋＋cos2α－sin2α＋si n2α－

＝＝右边．

故sin²α＋cos²(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.

 

 

 

C档（跨越导 练）

1．解析：根据前三个式子特点可以发现： 所以第五个式子应该为

答案：

 

2．解析：

答案：

 

3． 解析： 可以发现其以4为周期， 所以 末四位数应为8125

答案：D

 

4．解析：观察式子特点可知分子应为 ，而分母应为

答案：

 

5．A

6．B

7．C

8．解：如图(1)所示，由射影定理AD²＝BD·DC，AB²＝BD·BC，AC²＝BC·DC，

 

∴＝

＝＝.

又BC²＝AB²＋AC²，

∴＝＝＋.

所以＝＋.

猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想

四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.

如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.

 

∵AB⊥AC，AB⊥AD，

∴AB⊥平面ACD.

而AF⊂面ACD，

∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，

AE⊥BF，

∴＝ ＋.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

∴＝＋.

∴＝＋＋，故猜想正确．

 

 

 

 

 

9．解：(1)填表如下：

(2)由上表可以看出，所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：

4＋3－6＝1

8＋5－12＝1

6＋4－9＝1

10＋6－15＝1

由此，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：

顶点数＋区域数－边数＝1.

(3)由(2)中所得出的关系，可知所求平面图的边数为：

边数＝顶点数 ＋区域数－1＝2008＋2008－1＝4015.

 

 

10．由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f (1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…

可得f(n)＝f(n－1)＋，所以

f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…

＝＋＋＋＋f(1)

＝＋＋＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．