构造全等三角形的五种常用方法

在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．www.21-cn-jy.com

 翻折法

1．如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

 

(第1题)

 

 

 

 

 

 

 构造法

2．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.21cnjy.com

求证：∠ADC＝∠BDF.

 

(第2题)

 

 

 

 

 

 旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21教育网

 

(第3题)

 

 

 

 

 

 

 

 

 倍长中线法

4．如图，在ABC中，D为BC的中点．

(1)求证：AB＋AC>2AD；

(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

 

(第4题)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 截长(补短)法

5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．

(第5题)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案

1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)21世纪教育网版权所有

BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE.

BD⊥AD，

∴∠ADB＝∠BDF＝90°.

在ABD和FBD中，

∠ADB＝∠FDB＝90°，BD＝BD，

∴ABDFBD(ASA)．

∴∠2＝∠DFB.

又∠DFB＝∠1＋∠C，

∴∠2＝∠1＋∠C.

(第1题)

2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.

∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.

CE⊥AD，

∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.

∴∠1＝∠2.

在ACD和CBG中，

∠ACD＝∠CBG＝90°，AC＝CB，

∴ACDCBG(ASA)．

∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.

点D为BC的中点，

∴CD＝BD.∴BD＝BG.

又∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，

∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.

在BDF和BGF中，

BF＝BF，∠DBF＝∠GBF，

∴BDFBGF(SAS)．

∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.

(第2题)

点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键．

3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.

∠ABE＝90°，∠D＝90°，

∴∠D＝∠ABH＝90°.

在ABH和ADF中，

BH＝DF，∠ABH＝∠ADF＝90°，

∴ABHADF.

∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.

∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.

BE＋DF＝EF，

∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.

在AEH和AEF中，EH＝EF，AE＝AE，

∴AEHAEF.

∴∠EAH＝∠EAF.

∴∠EAF＝21∠HAF＝45°.

　(第3题)

 

点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到ABH.

4．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.

D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，

∴ADCEDB.

∴AC＝EB.

AB＋BE>AE，

∴AB＋AC>2AD.

(2)解：AB－BE＋BE，

∴AB－AC<2AD＋AC.

AB＝5，AC＝3，

∴2<2AD<8.

∴1

点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．

5．解：EF＝BE＋FD.

证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.

 

(第5题)

∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠B＝∠ADG＝90°.

在ABE与ADG中，

BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，

∴ABEADG.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

又∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，

∴∠BAE＋∠FAD＝60°，

∴∠DAG＋∠FAD＝60°，

即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°.

在EAF与GAF中，

AF＝AF，∠EAF＝∠GAF，

∴EAFGAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.

∴EF＝FD＋BE.

点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．21·cn·jy·com