引言

    曾经思考过曲面求交，结果发现是学术界的一个难题，并且也想出了一个当前广泛使用方法原理一样的近似解法（追踪法）。当然网上也有很多方法，只不过那些方法非常粗糙，无非就是meshgrid出离散网格，比较两曲面在某位置的坐标是否在某一精度范围内，然后标记显示之。这个方法仅仅当离散网格非常细的时候才比较精确。除此之外，还有个非常严重的问题：上面的“精度范围”不是你随心所欲给的，而且也没规律寻找，当给得不恰当的时候，在格点处两曲面点作比较，会出很多个符合要求的点，或者一个也没有。这样就会使得交线非常曲折，甚至断裂等，严重影响精确度。

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    当然，既然有曲面求交，那么也有曲线求交，其基本结构就是两曲线求交。只是曲线求交问题，事先得澄清一些注意点：

    1. 数学分析层面求两曲线交点，其实就是方程组求解；

    2. “曲线”概念包括“直线”（处处曲率半径为无穷大）；

    3. Matlab的重点是离散点+矩阵运算，因此所有运算都是基于离散的，因而这里的曲线并不是绝对光滑的。

    4. 近似试探与未知函数表达式。

对于1，我想说的是，如果你想要求得两曲线的精确交点，并且一个不漏，那就直接求解方程组，不用看本帖下文；

对于2，直线在Matlab里面是两个点确定，因此交点如果是一段线（无穷个点）的情况，可能只是显示两端点为交点；

对于3，很简单的例子，参数方程 x=cos(t),y=sin(t) (0<=t<=2*pi) 在数学分析（即连续空间）层面上是个圆，但是如果你在离散t的时候，间距比较大，那么最后Matlab绘制的图像不是圆，而是正多边形了。因此，此时我们讨论曲线交点是这个离散点连线的图形与其他图形的交点，而非圆与其他交点。这也是我在标题中加了“离散点连成”的修饰词，防止被误会。

对于4，既然是求曲线交点，那么本方法可以作为求方程组的近似解。当然，如果离散点够多，解的精确度可以保证，不过不能保证一个不漏。另外就是，对于一组离散点构成的曲线，很难知道它们的解析表达式，因此想通过非线性方程组求解的方法来求交点，就不大可能了（不过你可以用曲线拟合出函数解析式），因此，本帖的方法将会是一个较为有效求交点的方法。

    废话了那么多，下面就说说曲线求交点的方法吧。除了求解方程组，很多人想到的方法就是“离散点+判断距离是否足够接近”，这个方法原理跟引言中曲面求交的方法是一样的。因此缺点也是一样的——太粗糙了。网上这种方法的代码也很多，这里就不上了。

下面将阐述我的方法以及给出例子代码。

    我有两种思路，一种是高级绘图层面的（不涉及到底层操作），一种是底层的。我只给出了第一种的代码，因为我不会底层操作。

    思路一：既然matlab曲线绘图是通过有序离散点依次连线形成，也就是说，通过“以直代曲”的过程，那么曲线交点无非就是离散点（结点）或者两线段交点。这比上面直接用交点附近的结点替代交点的方法要精确得多了。而两直线交点很容易求，只要知道四个点坐标，那么交点精确坐标自然可以表示出来。这就是求交点的原理。只是还有一些细节处理和要注意的地方，我会留到后面再详细说。

    思路二：仔细观察两曲线交点的特性，很容易发现，其实交点就是操作系统底层绘图重叠的那些像素点。因此，只要给要绘制的像素点做个标记，将那些重合的点突出显示（比如换个颜色），那么就相当于显示出交点了。这种方法由于是本质性的，因此不会遗漏任何交点，而且精确度极高，适用范围广。Matlab提供的plot plot3 surf等绘图函数都属于高级绘图，底层绘图（或称低级绘图）只有line surface以及patch等少数函数。但是，这里的“底层”并非真正的底层，因为它还是经过封装了的，而C++的MFC里面直接用刷子绘图，那才是依靠操作系统完成的真正的“底层”绘图操作（包括所有窗口都是操作系统绘制的）。这里扯远了，想要说明的就是底层绘图的概念而已。只是我不会用matlab实现这些底层绘图。

    上面说了思路，下面就详细说说一些注意点和需要处理的细节。

    为了算法的健壮性，就必须考虑各种奇异的情况，防止bug。我们要考虑曲线有分支（很多代数曲线是这样的，代数几何里面研究的东西）、间断跳跃（有绝对值函数或者存在渐近线情况）、首尾是交点、在切点相交，等等这些情况。而且对于定位交点处附近的四个最近端点也是个问题（因为这里存在一个情况，如果曲线1上的一条线段与曲线2上的两条或者以上的线段相交，我的程序因为这个问题没能有效解决，出现在一些非常特殊的情况下会遗漏部分交点）。上面的情况如果不考虑，那么你的程序就会出现各种各样的问题。

    对于通常情况，我考虑使用变号法则来判断交点（也就是高数里面“连续函数变号端点内存在零点”），对于上面说的特殊情况，那么预先处理，比如先看是否存在eps内的，或者为零的结点，有则直接记录，没有的话，通过两线段求交来确定交点。至于遍历顺序的问题，为了简便，我指考虑两曲线离散点个数相同的情况（因为不同的话，会出现一些无法处理的情况），而且优先考虑离散点的坐标值中x或者y都相同的情况（比如x=0:0.1:pi; y1=sin(x), y2=x.^2这两条曲线的x值相同分布）。

下面是曲线y=cos(2*x).*exp(sin(x))与y2=sin(x).^2+cos(x)在[0:pi/18:2*pi]区间内的交点的代码：

注意：我没有写成接口的形式，虽然对于比那些较懒的人来说不太方便，但是这样做是为了让你能更好弄懂原理，并能自己改造代码。因此，下面的代码可以稍作修改，就能解决别的曲线求交点。这样，不愿思考的懒人就没法达到自己的目的了~

 

% 绘制两离散曲线的交点

% 注意：

%   1. 这里的“交点”指的是离散点连线绘出的图形的交点，而非函数或者方程理论分析上的交点，

%      因此，这个程序不能作为求根来用。

%   2. 要求两曲线的离散点的个数一样。

%   3. 两个曲线出现参数方程的话，大多数情况正常。但是经测试发现，对于某些非常特殊的情况会出现bug,

%      除非调用ezplot的数据（xdata,ydata）。

%

clear;

debug=false; %关闭显示求交点过程

% 曲线1

x=0:pi/18:2*pi;

y=cos(2*x).*exp(sin(x));

 

% 曲线2

[x1 N]=sort(x);  %此处对于C1参数方程，C2为显式函数；或者均为参数方程时候有用

% 下面几句代码在本个案下没有什么特殊作用，但是当出现参数方程的时候，下面的方法改动一下就会有用。

y1=sin(x1).^2+cos(x1); %用于作图

x2=x;

y2=sin(x).^2+cos(x); %用于寻点

 

 

h=plot(x1,y1,'b',x,y,'c');

y(abs(y)<=eps)=0; y2(abs(y2)<=eps)=0;%对于三角函数关于零点的部分处理,但是发现sin(k*pi)不一定全在eps范围内

cy=y2-y; %作差

%符号记录

pos=cy>0;

neg=cy<=0;

%确定变号位置

fro=diff(pos)~=0; %变号的前导位置

rel=diff(neg)~=0; %变号的尾巴位置

zpf=find(fro==1); %记录索引

zpr=find(rel==1)+1; %记录索引

zpfr=[zpf; zpr];

hold on

% 观看求交点过程

if debug, hp=plot(x(zpfr),y(zpfr),'r.-',x2(zpfr),y2(zpfr),'g.-'); end

%线性求交

x0=(x(zpr).*(y2(zpf)-y(zpf))-x(zpf).*(y2(zpr)-y(zpr)))./(y(zpr)+y2(zpf)-y(zpf)-y2(zpr));

y0=y(zpf)+(x0-x(zpf)).*(y(zpr)-y(zpf))./(x(zpr)-x(zpf));

if any(isnan(y0)), y0=y2(zpf); end

%加入已经判断为零的位置

x0=[x(abs(cy)<=eps) x0].';

y0=[y(abs(cy)<=eps) y0].';

hc=plot(x0,y0,'k.'); %绘制交点

if debug, legend([h;hc;hp(1);hp(end)],'C1','C2','交点','微线段1','微线段2',0); end

legend([h;hc],'C1','C2','交点',0)

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z');

title('平面曲线交点')

axis equal

hold off

disp('交点坐标[x,y]为：')

disp(unique([x0,y0],'rows')) %排除重复的点

 

 

经测试十几种奇怪的曲线相交（包括参数方程形式的曲线），目前发现上述代码的方法有四种情况会出现遗漏一两个交点。（其实上面代码本意是求显式函数的曲线交点，或者未知表达式的离散点曲线的交点，并未针对参数方程，隐函数方程做优化，但是可以凑合着用用。）