为什么要用耦合、约束方程与释放自由度

我们知道在有限元模型中，单元之间的连接不完全通过共节点进行，或者说仅通过共节点并不能刻画单元间真实的连接方式，如刚性区域，梁与梁、壳的铰接，对称滑动边界、周期条件等，这时就需要用到耦合、约束方程、自由度释放等技术对单元的节点自由度进行处理。

耦合

（一）何谓耦合

所谓耦合，其实是一种比较特殊的约束方程，具体指当我们需要迫使两个或多个自由度（DOFs）取得相同值（值未知）时，可以将这类自由耦合在一起。

耦合自由度集包含一个主自由度和一个或多个其它自由度（从自由度）。耦合只将主自由度保存在分析的矩阵方程里，而将耦合集内的从自由度删除。计算的主自由度值将分配到耦合集内的所有其它自由度中去。

（二）有哪些应用

耦合自由度的典型应用包括：1）模型部分包含对称；2）在两重复节点间形成销钉、铰链、万向节和滑动连接；3）迫使模型的一部分表现为刚体。

（三）怎么生成耦合

ANSYS中经常使用耦合的命令：CP\CPINTF，其中CP命令更具有普遍性，CPINTF只是用于对每对重合节点进行指定自由度的耦合。

约束方程

（一）什么是约束方程

约束方程提供了一种比简单耦合更通用的联系自由度值的方法。前面我们说了耦合是一种很简单的约束方程，这儿就可以理解为耦合的节点自由度之间满足广义位移相等的这样一种线性关系。约束方程本质上是一种联系自由度值的线性方程，其形式如下：

Const=Coef1*DOF1+Coef2*DOF2+…

式中，Const为一常数，Coef1—系数1，DOF1—自由度1。

（二）如何生成约束方程

约束方程常用的ANSYS命令：CE、CERIG

A) CE直接生成约束方程

其中CE命令对应于我们前面所说的CP命令，是更加具有普遍性的命令，该命令通过定义每个自由度之间的系数关系来建立约束方程。

B) CEINTF命令——在界面上自动生成约束方程

这项操作将两个疏密不同、不相容的网格区域通过约束方程”系”在一起。在两区域的交界处，从网格稠密的区域A选择节点，从网格粗糙区域B选择单元，用区域B单元的形函数，在相关的区域A和B界面的节点处写约束方程。如下图，两个划分完网格的面单元边界重合（为方便说明，图中留有间隙），可通过选择点1-4和单元1-2将两区域在边界连接起来。

Figure 1  两个相连的疏密不同的网格区域

C) CERIG建立刚性区——自动生成约束方程

CERIG命令连接主节点和从节点的自由度通过约束方程生成刚性线，而具有公共节点的刚性线连接为刚性面或刚性体，从而建立一个刚性区域。建立刚性区域时，程序会自动生成一个或多个约束方程，约束方程编号会自动在原有最大编号上加1。该命令用于不同自由度单元连接时很方便。

释放自由度

节点自由度释放（与自由度凝聚相同）就是将该节点的某个自由度“放松”，即铰接于该节点的单元的单元杆端力为零。ANSYS中具有自由度释放功能的有BEAM44、BEAM188/189三个单元，且它们的释放方式不同。

在大变形时，BEAM44单元的节点自由度释放会“随动”，而耦合自由度则不会。耦合自由度可用于各种单元或组合中，但自由度释放仅仅相对某种单元类型。

（一）BEAM188/189单元

ENDRELEAS命令对BEAM188/189单元的节点进行自由度释放，实质上是耦合自由度，但由程序自动耦合（程序又指定了新的节点，并进行了单元节点调整，然后建立耦合集），其优点是用户不必在同一位置创建两个节点，然后用CP设置自由度耦合。

采用自由度释放时，按刚接点创建几何模型，不需要在同一位置创建多个关键点。因BEAM18X系列端点自由度释放采用的自动创建耦合自由度集，因此也要遵循自由度耦合规则，如多杆铰接时应同时释放自由度，否则在不同的耦合自由度集中会出现同一自由度。另外，自由度释放与直接创建耦合自由度互补，即释放某个自由度，则在耦合自由度集中无该自由度。BEAMI8X系列所释放的自由度基于节点坐标系。

（二）BEAM44单元

BEAM44 单元的自由度释放采用KEYOPT(7)设置，有多少不同的自由度释放就需要定义多少种单元，因此其自由度释放要比前两种方法繁琐。

BEAM44单元释放的自由度基于单元坐标系，这与自由度耦合和BEAM18X系列不同。

结语

1       耦合自由度（CP、CPINTF）和生成约束方程（CE、CERIG）可以增加自由度约束，BEAM44和BEAM188/189单元可以释放自由度。

2       约束方程、耦合自由度和BEAM188/189释放自由度均是基于节点坐标系，而BEAM44释放自由度是基于单元坐标系。

3       BEAM44与BEAM18x单元的释放方式不同：BEAM188/189单元采用ENDRELEASE命令释放自由度，本质上是耦合自由度，其操作是在全刚接有限元模型的基础上进行；而BEAM44采用KEYOPT(7)释放自由度，其本质上是释放“刚度矩阵＂，其操作是在建立单元的过程中完成的。

参考文献

[1]    王新敏.ANSYS工程结构数值分析[M].人民交通出版社.2007:350-353.

[2]    ANSYS建模与网格划分指南.P186-191.

[3]    ANSYS中那个叫耦合和约束方程的到底是个什么东西. ANSYS结构院(微信公众号).

[4]    葛俊颖.基于ANSYS的桥梁结构分析[M].中国铁道出版社.2007:36-41.

[5]    ANSYS讲义第05讲-耦合和约束方程、不同单元的联合使用. 湖南大学. 

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