习题一
1.
(3)验看乘法封闭、除法封闭、加减封闭。
8.
证明易证。举例如{m+n√2},
{m+n√3}.由13题知，除非二者存在包含关系，否则K∪L不是数域。
13.
对答案的方法的第二行稍加几句补全：x=k/l,
因为k和l均在数域KUL中，故x也在数域KUL中。则x或在K中或在L中。但x不可能在L中，否则k=xl也在L中（因为x和l均在数域L中）。因此x必在K中，进而l=k/x也在K中（因为k和x均在数域K中）。
以上说得虽然很绕，但是关键处也很简单：乘除运算可逆。两个数a,b相乘生出一个c来，c必在a和b所在的数域中。但是c除以b又变回了a【假如b不为0】，故a又必须在c和b所在的数域中。即是说，假如任三个数a,b,c满足a*b=c，且a,b均不为0，则三个数必然共同生活在一个数域的土地上。三个数中的任两数的数域确定为数域M，则第三个数也不出数域M。在上面的例子中，lx=k共享一个数域。接下来逐次收缩：因为k和l在KUL中，则x也在KUL中。则或者l和x同在L中，导致k也在L中（与假设矛盾），或者k和x同在K中，导致l也在K中。
答案方法也可改为看l+x=k.上一段说的对加减法也适用：d+e=f若成立，则三个数共数域。若其中任意两个数在数域M上，则第三个数也在数域M上。
另有一大同小异的证明方法。假设K和L互不包含，则有仅属于K的元素k和仅属于L的元素l。则k*l=a（或者考察k+l亦可)则必然已经跃出KUL（从而KUL对乘法运算不封闭，从而不是数域）。否则a或者属于K导致l也属于k（根据上上自然段所叙之理由），或者属于L导致k也属于L，两样均导致矛盾。
总结：两个数域合并之后通常不再是数域。譬如说K={a+b√2}与L={a+b√3},(a,b均为有理数)，有些元素们如√2与√3无法通过四则运算互通（意为√2无法通过与本域内的某一个a+b√2作加减乘除来达到√3，√3无法达到√2亦然），√2与√3作四则运算中的任一运算的结果都不可能落脚在两个数域之内；即是说，√2、√3、√2+√3这个三角的第三个顶点必然落在K和L之外；√2想通过被减而达√3的话就要走这条出了K和L的路。其他四则运算亦然，√2、√3、√2*√3的三角，√2、√3、√2/√3等等。即是说，K和L本身是两个不同的数域是有原因的，本身就有二者不连通、不“通车”之处；要通车就要走到外面去，走到外面去就说明出了K和L两个数域。三角是visualize的好办法。
14.
此题有趣。想想看，若把所有f()剥去，则变为：(a+b)=a+b,
(ab)=ab，即是说，a、b、a+b这三个数的“三角关系”被f映到“另一世界”之后依然成立；a、b、ab亦然。如下图示。
答案已写出解法的“道之真”，下略作补全。
【第一步】0+0=0，经由f映后依然成立，即有f(0)+f(0)=f(0).进而得到f(0)=0.
或者，更一般地，a+0=a，经由f映后依然成立，即有f(a)+f(0)=f(a),进而得到f(0)=0.
但是其实注意，两边同时减掉f(0)并非八条法则中的一条。但是根据前述“第5页(3)”的思路，可证明之。具体地，可以证明"x+a=y+a→x=y"。证明方法已寓于前文“第5页(3)”之中，从左端出发通过甲式过渡到右端（令b为a的负元）：x=x+0=x+(a+b)=(x+a)+b=(y+a)+b=y+(a+b)=y.
（通过引入a而将x“偷天换日”为y，在把a还给b归零。）
【第二步】取a使得f(a)不为0，a*1=a，经由f映后依然成立，f(a)*f(1)=f(a)，进而得f(1)=1.
但是又要注意，等式两边可同时除以同一个数并非八条中的一条（除非先定义等号，说清楚等号两边的就是一模一样的东西）。但可以类似第一步那样证明，令b为f(a)的负元，f(1)=f(1)*1=f(1)*(f(a)*b)=(f(1)*f(a))*b=f(a)*b=1.
【第三步】1+(-1)=0,f(1)+f(-1)=f(0)=0,故f(-1)=-f(1)=-1.
【第四步】对任意正整数m，有f(m)=f(1+1+1+...+1)=f(1)+f(1)+...+f(1)=m.进而f(-m)=f(-1)f(m)=-m.
【第五步】对任意有理数，写成m/n之形式，m、n均为整数。f(m)=f(n*m/n)=f(n)*f(m/n).因此f(m/n)=f(m)/f(n)=m/n.
以上所叙为证明之步骤，但方写出证明时，并未建立直觉。经涵泳体察，有如下之感悟。
f(a+b)=f(a)+f(b)乃是一种“线性”的关系。a与b二者完全可以分开检视其作用；b的作用【严格定义为f(a+b)与f(a)的差，即在有a的基础上再加b时对f的增加量】与它加在谁身上无关。举一非线性之例以明之。譬如，Ln(x)越往右曲线增速越缓。Ln(a+b)未必等于Ln(a)+Ln(b)。如果以非常小的a为起点再加b，则b的作用很大，例如Ln(0.01)是-4.61，而Ln(1.01)大增至0.01，差别为4.62.相比之下，Ln(100)与Ln(101)二者差别只有0.01.即，b的作用取决于加在谁身上，绝非一个f(b)可以刻画。回过头来说,f(a+b)=f(a)+f(b)可得出f(a+b+c+d+...)=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)...，各人的作用都是绝对不变的。考虑f(x)，当x增加时，x每增加一块，f也增加相应地一块，始终保持协调。故可以推出，对任意a，必有f(a)=ka，k为系数。k可以为0，也可以非零。那么，到此为止的讨论（包括题目本身）都是限定在有理数域上的。有理数的简单性在于有理数是一分数，易于通过相加与整数发生关系，例如f(m/n)+f(m/n)+...+f(m/n)【共n项】是f(m)，则由f(m)=km可知f(m/n)是km/n.那么对于实数成立否？答曰看似成立，譬如f(3.1415926...)=f(3)+f(0.1)+f(0.04)+f(0.001)+...，但实际也成立，但“譬如..."这一证明不对。见第15题即可知这种证明不对。正确的证明要看《学习指南》，最后也用到极限，但是要先证明"a>b→f(a)>f(b)"
（对15题不成立）.
现考虑f(a*b)=f(a)*f(b)。无论f为何，只要f(1)不为0，都必有f(1)=1：考虑任一数a≠1与1之相乘，a乘1后还变为本身a，相应地f(a)与f(1)相乘后还变为f(a)。又不可能所有的f(a)全部都是0【否则f(3*0.3333...)=1≠f(3)*f(0.33333...)=0】，故f(1)是1.故结合前段知k必为1.然如果不结合f(a+b)=f(a)+f(b)，单看f(a*b)=f(a)*f(b)的话，应知该条件虽然表明f(1)=1，但并未表明f(其他数)的值：事实上，任何幂函数都满足f(a*b)=f(a)*f(b)；随着幂级的变化，f(1)始终是1，但是f(其他数)都变了。故f(1)=1是关键。直觉之建立：任何a乘以1都得a；在f后的世界里，谁是1？或者退一步说，有1吗？进而知，f(1)就是那个1.
所以此题的正确证明次序或许是：（如果f不是零变换的话）由f(ab)=f(a)f(b)得出f(1)=1，再由f(a+b)=f(a)+f(b)之线性内涵得出f为恒等变换。
15.
(1)证明过程类似第14题。
（一）首先可证得f(a)=a，只要a是有理数。证明过程与前相同，现再写一遍，比14题中的更细致些。
首先，0+0=0,f化之后得到f(0)+f(0)=f(0)，用消去律（再次强调，消去律非自然而有，需由九条法则证明）得到f(0)=0.
继而，易于验证映射(1)满足各项条件。
【接下来的思路：先由f(α+β)=f(α)+f(β)证明对所有有理数有f(a)=ka，证明过程中强调“线性”，强调“砖块垒大厦”性。继而由f(αβ)=f(α)f(β)得到k是1.】
现说明，假如f不是映射(1)的话，必然存在一个有理数c满足f(c)≠0【注意：1.这不是一句废话，因为不是映射(1)的话说明存在一个有理或无理数满足其映射值不为0.
2.证明目的是从这个f(c)的值出发，得到其他一切有理数的Proportional之的值。】用反证法：假如所有有理数f了之后都为0的话，则对一切a+b√2(a,b为有理数)，有f(a+b√2)=f(a)+f(b)f(√2)=0+0f(√2)=0.
故必然存在一个有理数c满足f(c)≠0.【注意c必然不是0，因为f(0)=0】设f(c)=k*c
(k是一非零复数).f(c)就好像一块基本砖，由它可以垒出所有其他有理数的f值。譬如说，如何垒出任一有理数m/n
(m,n∈Z)的f值？答曰：写有理数c为p/q
(p,q∈Z),则c可以细分为pn份1/(qn)。每一份的f值都是f(1/qn)=k*c/(pn).
【因为f(c)=f(1/(qn)+1/(qn)+...+1/(qn))=f(1/(qn))+f(1/(qn))+...+f(1/(qn)),共pn个f(1/(qn))相加，故f(1/(qn))=f(c)/(pn)=k*c/(pn)】继而由这些小的1/(qn)及其f值垒出f(m/n)的值。m/n是mq个1/(qn)之和。f(m/n)=f(1/qn+1/qn+...+1/qn)=f(1/qn)+...+f(1/qn)，共mq个f(1/qn)相加，故f(m/n)=mq*k*c/(pn)=mq*k*(p/q)/(pn)=k*m/n.因此，对任一有理数a，有f(a)=k*a（k非零，前已述）.
继而，对任二有理数a,b，有f(ab)=f(a)f(b)，代入刚得到的k公式，有kab=ka*kb。故须有k=k*k。【更严格地说，代入非零的a,b值，譬如a=b=1，得到该式】k非0，故k=1.
对f(ab)=f(a)f(b)建立直觉：该式并非一个非常自然的式子；注意到其不自然才能建立对它的感觉。a被f了，b也被f了，所得的f(a)乘f(b)之积与ab这个积应该有双重的f的差距【譬如说a=2米,b=2米,a*b是4平方米。现在改用厘米衡量一切，相当于k=100，则有a=200
cm, b=200 cm,a*b是40000
平方厘米】，而非仅仅是1个f的差距(ab与f(ab)的差距)【续前例，a*b不应是4*100=400平方厘米】.双重f与单重f相同，k=1符合这个直觉。
（二）有了（一），现在知道对一切a+b√2(a,b∈Q)有f(a+b√2)=f(a)+f(b√2)=f(a)+f(b)f(√2)=a+bf(√2)，现在要求f(√2).
（三）此处一件极有意思的事情。√2能不能像（一）中所叙那样把它的值垒出来呢？【剧透：根据下文的（四）是垒不出来的。】所说的“垒出来”，是如下的意思。首先√2写不成分数的形式（因为不是有理数），所以当然不能以和（一）一模一样的方式垒出来。但是能不能一位一位的垒出来呢？也就是说，能不能说f(√2)=f(1.41421356237...)=f(1)+f(0.4)+f(0.01)+f(0.04)+...+f(0.00000000007)+...=1+0.4+0.01+0.04+...+0.00000000007+...=1.41421356237...=√2。看起来对得不行，但是其实不对，由下文可知。至于为什么，也许就是无穷项相加与有限项相加不同，又或者无限不循环这种“无理”的状况非常不同吧。
（四）现在求f(√2). f[(a+b√2)(a-b√2)]=f(a+b√2)f(a-b√2) →
（若干步骤略去不写） → f(√2)=√2或f(√2)=-√2.
由此可见（三）之垒法不对。
（四）也可更简便地，做f(√2*√2)=f(√2)*f(√2)。
f(α+β)=f(α)+f(β)讲的依然是一种线性关系，或者说仿射关系。只要f(a+b√2)=s*a+t*b√2
(s,t为系数），f就满足f(α+β)=f(α)+f(β)。a+b√2可以看成是有理平面上的二维数(a,b).
若把14题中的“A为全体有理数所成的集合”换成“A为全体实数所成的集合”，第14题之待证命题成立否？答：见《学习指南》引言之例5.
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(2015-01-10 11:13:16)