电路分析基础4——拉普拉斯变换

拉普拉斯变换在很多人的心中都是一个很高深的事物，让人只能站在远处遥望不敢接近。如果真正了解了拉普拉斯变换会发现它其实并不是很高深。在学习的过程中，不应该对它有所畏惧。

拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。它的存在使得解微分方程变得更加的简单。在拉普拉斯变换中使用一个新的变量S，S=d/(dt),S也等于jW。对于拉普拉斯变换的应用在频域上的运算只需要做加减乘除就行，但是在时域下就要解微分方程。拉普拉斯变换可以将频域分析转化到时域分析，从而减少计算的过程。在平时的计算或分析中，比较倾向时域分析。因为时域是一个很熟悉很容易理解的，频域使用的较少，对频域的不熟悉也会使学习拉普拉斯变换更加困难。如何将时域和频域联系起来？首先，需要熟悉频域。

1、          频域

在百度百科中给出：频域frequency domain 是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。在电子学，控制系统工程和统计学中，频域图显示了在一个频率范围内每个给定频带内的信号量 。 频域表示还可以包括每个正弦曲线的相移的信息，以便能够重新组合频率分量以恢复原始时间信号。

频域与时域之间存在“倒数”的关系，当时域无穷大时，对应频域中的零；当时域为零时，对应频域无穷大。

2、          傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。概括的说就是：所有的周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

系统的传递函数H（S），就是系统单位脉冲响应H（t）的拉普拉斯变换。下面给出了拉普拉斯变换的关系式：

http://s11/bmiddle/005QcLbXzy7db4eGQzMca&690

由傅里叶级数可以得到任何一个函数都可以转换为三角函数的无穷级数来表示。知道上面的公式就可以使用这个公式来计算，将时域与频域直接相互转换。

3、          分步积分法

在求傅里叶变换和拉普拉斯变换时需要使用到一些数学知识，其中分步积分法很重要。咋百度百科中给出：微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。在求解的过程中有很大的可能会使用到这个方法。

拉普拉斯变换表：

http://s6/bmiddle/005QcLbXzy7db4fC1Mx45&690

对于拉普拉斯的应用还是需要大量的练习来熟悉。在实际应用的情况下需要使用拉普拉斯的反变换，根据这个表就可以得到对应时域下的函数。这里需要注意的是：系统的传递函数H（S），就是系统单位脉冲响应H（t）的拉普拉斯变换。